εδ論法はどうして必要なんですか？極限の定義だと思うんですけど、高校数学までだと厳密さに欠けますか？

εδ論法はどうして必要なんですか？極限の定義だと思うんですけど、高校数学までだと厳密さに欠け、解決できない問題が出てくると聞きましたが、具体的に納得できる事例を挙げてほしいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/08/26 03:49

lim_{n→∞}a(n)=α

の時

lim_{n→∞}{Σ_{k=1～n}a(k)}/n=α

(
=lim_{n→∞}{a(1)+a(2)+…+a(n)}/n=α
)

を証明する
問題ではεδ論法でなければ証明できません

この回答へのお礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。

お礼日時：2019/09/03 22:57

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/08/26 06:14

lim_{n→∞}1/n=0

Σ_{n=1～∞}(1/n)

=1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+(1/5)+(1/6)+…+(1/n)+…

≧lim_{m→∞}Σ_{n=1～m}Σ_{k=1～2^n}[1/{(2^n)+k}]
≧lim_{m→∞}m/2

=∞
だから
S(n)=1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+(1/5)+(1/6)+…+(1/n)
とすると

lim_{n→∞}S(n)=∞

だけれども

lim_{n→∞}S(n)/n=0

となる事は
εδ論法でなければ証明できません

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/08/25 23:01

では

Iim[x→0]x=0
をεδ無しで「証明」して下さい。
勿論「限りなく~に近ずく」を使うなら
その数学的定義も示すこと。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2019/08/25 18:41

大学数学ではεδが必須になる。

たとえば数列AnがAに収束する時
Anの第n項までの相加平均もAに収束する。
これが高校数学では証明できない。

No.1 回答者： cage64 回答日時： 2019/08/25 18:39

高校数学まででは、極限の定義や関数が連続であることの定義もありません。

「限りなく近づく」という言葉でごまかしているだけです。
連続の定義はε-δ論法でなされます。
そして、定義なしに厳密な数学はできません。
εδだけでなく、実数の連続性（完備性）と呼ばれるものも、高校ではやっていません（例えば、2^πなんてのは定義してません）。
これらに限らず、高校数学では厳密性を犠牲にして直観的にわかりやすい説明をしています。
ただし、数学科以外なら厳密な数学は知らなくても困らないでしょう。