画像の数学の問題で質問です。 解答の黄色矢印、青矢印の導き方が分かりません。詳しい途中式を教えて頂き

画像の数学の問題で質問です。
解答の黄色矢印、青矢印の導き方が分かりません。詳しい途中式を教えて頂きたいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/31 14:23

黄色の矢印は、X = Y ならば log X = log Y が成立することを使っています。

9^(log_3 5) = M だから log_3( 9^(log_3 5) ) = log_3 M です。　←[0]
log へ代入できるように X,Y が正であることを確認する必要があり、
「左辺は正であるから」と書いていますね。

青の矢印は、log(X^a) = a log X という公式を使っています。　←[1]
log の定義は X = b^Y ⇔ log_b X = Y なので、
指数法則 X^a = (b^Y)^a = b^(aY) を対数に翻訳すると　←[2]
log_b(X^a) = aY = a log_b X になります。
[1]は、よく計算につかう基本公式なので、しっかり覚えておくべきです。
指数を使って書くか対数を使って書くかの違いだけで、内容的には[2]と同じことを言っています。
[1]で X = 9, a = log_3 5 とすれば、log_3(9^(log_3 5) ) = (log_3 5)(log_3 9) となります。
[0]と合わせれば、(log_3 5)(log_3 9) = log_3 M ですね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/30 20:33

対数の定義は、

　y = A^x
に対して
　x = log[A]y　　　　①
です（[A] は「A を底とする対数」を表わす)。

同様に、任意の底 n を使って
　log[n]y = log[n](A^x) = x*log[n]A　　　　②
とも書けます。
n = A なら
　log[n]A = log[A]A = 1
で①になるだけのことですから。

お示しの画像は、この
　y = A^x　　　←これが M = 9^(log[3]5) になっている、つまり y=M, A=9, x=log[3]5
をn = 3 として②の形に変形しただけのことです。
②の左側の等式が「黄色」
②の右側の等式が「青」
ということです。

さらには A=9 なので
　log[3]9 = log[3]3^2 = 2log[3]3 = 2
を使って変形していますね。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/08/30 18:19

黄色に関しては解説の１行目

9^(log_3 5)=Mとおく。
の両辺の底3の対数をとっただけです。

青の矢印については左辺だけを変形させただけ。log_a b^c=c*log_a bの関係を使い指数部分を前に出したのです。