指数関数がいくら強いとはいえ、lim[x→∞]x^999999999999999/e^x＝０は不思議

指数関数がいくら強いとはいえ

lim[x→∞]x^999999999999999/e^x＝０

になっちゃうのは不思議ではないですか？

質問者からの補足コメント

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  すみません、キーボードに暫くうつぶせになってた状態にしか見えません。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/09/11 04:40

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  今日、思いついたんですけどロピタルの定理を999999999999999回使って
  
  999999999999999！lim[x→∞]1/e^x＝０
  
  これはどうですか？

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/09/11 23:17

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  でもe^xもx!には勝てないって知ってます？

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/09/13 22:58

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  自明自明、言ってないで数式でlim[x→∞]e^x/x!＝0示してみなさいよ。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/09/14 19:14

No.8 ベストアンサー 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/09/15 13:24

折角だから強さの順にまとめて見ようか。

i> C (定数関数)
兎に角動かない。だから増加関数で割ったらすぐに収束する。

ii> sin x, cos x
いわゆる有限周期関数ってヤツ。これも一定の幅を出られないから割り算するとすぐに収束する。

iii> arctan x
単調増加関数なんだけどπ/2 に収束するという珍しい関数。だから他の単調増加関数と比べられると必ずと言っていいほど負ける、史上最弱の単調増加関数。

iv> log x
こいつは単調増加関数で∞に発散するんだけど上に凸で、他の関数にすぐに追い抜かれるへタレの代表。

v> ax (a>0)
マイペースで兎に角まっすぐなヤツ。

vi> xⁿ (n>1)
n が大きければ大きいほど早く発散します。判りやすい。

vii> aˣ (a>1)
この辺になると発散が早い。a=e のときは微分しても変わらないからどんどん増え続ける。a が大きくなれば更に早い。

viii> x!
いわゆる階乗関数。Γ関数の変形。
こいつはもっと凄い! なにせ右に行けば行くほど加速度が増していくんだから手がつけられない。

ix> xˣ
もっと凄いのがいた!
増えれば増えるだけ加速度が増して階乗関数もブチ抜いていく。これこそ最強の単調増加関数。

x> tan x (-π/2<x<π/2)
と思ったら番外編。定義域が有限なのに発散するとんでもない奴がいた。
x=π/2 で完全に垂直に勃っちゃう元気者。
その他にも三角関数は組み合わせによって滅茶苦茶な動き方をするから大変。
でも、一度手懐けてしまえば意外と扱い易かったりする。

この回答へのお礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。

お礼日時：2019/09/25 23:05

No.10 回答者： seiji91 回答日時： 2019/09/18 03:59

∞ってのは、0と同じくらい不思議なんだよ・・

しかし、みんな優しいねぇ・・・　感謝しなさいよ！

No.9 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/09/16 02:07

まあ x! と x^x は「e^x とちょっと」の違いしかないわけで.

ところで, あなたは
数式でlim[x→∞]e^x/x!＝0
示せる?

No.7 回答者： springside 回答日時： 2019/09/15 08:52

>> 自明自明、言ってないで数式でlim[x→∞]e^x/x!＝0示してみなさいよ。

このサイトに書き込むのが面倒くさい。
悪いけど、そもそもあなたに構っている暇はないし、必要もないので、このやり取りは終わらせてもらうよ。

No.6 回答者： springside 回答日時： 2019/09/13 23:31

>>でもe^xもx!には勝てないって知ってます？

そんなことは、e^xの定義（Σでの定義）を考えれば自明のこと。

多項式との比較をしてたんじゃないの？　「多項式は」e^xに勝てないと書いたまでのこと。

No.5 回答者： springside 回答日時： 2019/09/13 16:16

全然不思議でも何でもない。

e^x = Σ[k=0→∞](x^k)/k!であって、kが∞まで行くのだから、どんな多項式
でも（と言うか、たかが多項式ごときが）勝てる訳がない。

敢えて雑に言い換えると、e^xは指数部分が∞の多項式だから、指数部分は
有限の数でしかない単なる多項式が勝てる訳がない。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/11 13:34

教科書とかで添付図のようなグラフを載せるから、

これが不思議だとかの感想になってしまうのかなあ。
あのグラフは、原点のごく近所だけが拡大してあって、
x > 999999999999999 などの大域での e^x の様子を
あまりよく表していない。
PCを使って、-200 < x < 200 とかもっと広い範囲とかで
y = e^x のグラフを描いてみると、グラフは
ほとんど x軸負部分と y軸正部分からなる L字形にしか
見えなくなってくる。
e^x は x>0 ではとにかくとんでもなくでかい
という感覚は、計算以前の直観として持っていたほうがいい。
そこだけ確認したら、寝落ちしてないで布団でねようね。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/09/11 06:12

x>0に対して

e^x>x^(10^15)/(10^15)!

↓だから両辺に(10^15)!/e^xをかけると

(10^15)!/x>x^(10^15-1)/e^x

任意のε>0に対して
K>(10^15)!/ε
となるKが存在する
x>Kとなる任意のxに対して

x>K>(10^15)!/εだから

x^(10^15-1)/e^x
<(10^15)!/x
<(10^15)!/K
<ε

↓
lim[x→∞]x^(10^15-1)/e^x=0

↓999999999999999=10^15-1だから
∴
lim[x→∞]x^999999999999999/e^x=0

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/09/11 02:31

別法.

x^999999999999999/e^x = [x/e^(x/999999999999999)]^999999999999999 = 999999999999999^999999999999999 * [(x/999999999999999)/e^(x/999999999999999)]^999999999999999
で 999999999999999^999999999999999 は定数に過ぎないから, x→∞ で (x/999999999999999)/e^(x/999999999999999) → 0 なら [(x/999999999999999)/e^(x/999999999999999)]^999999999999999 → 0 なので x^999999999999999/e^x → 0 でしょ?

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/11 01:23

そお？

e^x = Σ[k=0→∞](x^k)/k! なんだから、
x > 0 なら、どんな n を持ってきても e^x > (x^n)/n!.
0 < x^999999999999999/e^x
< x^999999999999999/((x^1000000000000000)/1000000000000000!)
= 1000000000000000/x. からハサミウチ。
わりと自然でしょ。