ある数aとbの積をaとbの最小公約数で割るとaとbの最大公約数になる理由

(aとbの最大公倍数) = (a*b)/(aとbの最小公約数)

なんででしょうか？よくわかりません

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/09/28 12:00

(aとbの最※小公倍数) = (a*b)/(aとbの最※大公約数)

という事でしょうか？

以下の具体例からも分かるとおり
aとｂの
最大公約数ｘ最小公倍数＝a,bのすべての素因数の積=ab
という関係が成り立っている所がポイントです
この関係を適宜整理したものが(aとbの最小公倍数) = (a*b)/(aとbの最大公約数)となります

具体例を見てください
a=30=2x3x5
と
b=42=2x3x7 とすると
a,bの最大公約数を求めるには
両者に共通な因数2x3を取り出してあげることです（この事から30と42の最大公約数は2x3=6)
反対に、最小公倍数を求めるには
両者に共通な因数2x3を取りだし、更に片方にしかない因数(5と７）を取りだし掛け算にしてあげることです
（最小公倍数は2x3x5x7=210)
ここでこれらの関係性を考えると
ab=2x3x5x2x3x7
最大公約数=2x3
最小公倍数=2x3x5x7
だから、abの掛け算の順番を入れ替えて、2x3及び2x3x5x7を最大公約数、最小公倍数に置き換えると
ab=(2x3)x(2x3x5x7)=最大公約数ｘ最小公倍数　　（←←←a,bのすべての素因数の積=最大公約数ｘ最小公倍数）
となります
従って、最小公倍数を左辺へ移せば
ab÷最小公倍数=最大公約数
すなわち
(aとbの最大公約数) = (a*b)/(aとbの最小公倍数)
です。a、ｂの数値を変えてもこのような仕組みは変わりませんから、質問の式が成り立つのです。

この回答へのお礼

すっっっっごくわかりやすかったです

お礼日時：2019/09/28 22:33

No.7 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/09/28 20:44

aとbの最大公約数をg、最小公倍数をlとすると、aとbはともにgで割り切れるので、

a=gm, b=gn (m, n は互いに素である自然数)
と表すことができます。
この時
l=gmn
であることは理解できますか?
lはaでもbでも割り切れる、つまりgmでもgnでも割り切れる最小の値なので余計なものが付いていないgmnとなるのです。
そこで両辺にgをもう1個かけると
gl=gmgn
gl=ab
となります。
aとbの最大公約数gはユークリッドの互除法で機械的に求めることができます。最小公倍数lを求めたければこの関係式を用いて
l=ab/g
を計算すれば求められるのです。

No.6 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/09/28 15:17

>なんででしょうか？

a、b、最大公約数、最小公倍数、それぞれを素因数分解してみる

＞よくわかりません
最大公倍数　←　最大公約数の間違いだよ
最小公約数　←　最小公倍数の間違いだよ

の定義を理解する
すると、質問者さんの疑問は氷解すると思いますよ

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/09/28 10:37

最小公約数は1で、最大公約数は無限大だよ。

最大公倍数⇒最大公約数
最小公約数⇒最小公倍数

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/09/28 07:06

aとｂの最大公約数をM、aとｂの最小公倍数をｍとします。

a=kM
b=lM
と表され、ｋとｌは互いに素です。

このとき、ｍ＝klM です。

よって、ab=(kM)(lM)=klMM=(klM)M=mM
M=(ab)/m

したがって、(aとｂの最大公約数)＝(ab)/(aとｂの最小公倍数)

(例) a=18 , b=24
a=3・6
b=4・6
M=6,　３と４は互いに素

m=3・4・6=72

(ab)/m=(18・24)/72=6=M

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/09/28 06:00

最小公約数は

常に
1
となります

公倍数はいくらでも大きな倍数があるので
最大公倍数は
存在しません

「
最小公約数、最大公倍数
」
という言葉は存在しません間違いです
「
ある数aとbの積をaとbの最小公約数で割るとaとbの最大公約数になる
」
(aとbの最大公倍数) = (a*b)/(aとbの最小公約数)
は間違いで
「
ある数aとbの積をaとbの最大公約数で割るとaとbの最小公倍数になる
」
(aとbの最小公倍数) = (a*b)/(aとbの最大公約数)
といいます

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/09/28 04:24

素因数分解して指数を調べる.