数学についてです。 f(x)=sinxをマクローリン展開したとき、0≦x≦π/4における剰余項R7(

数学についてです。
f(x)=sinxをマクローリン展開したとき、0≦x≦π/4における剰余項R7(x)の誤差|R7(x)|を求めて、小数点以下何桁まで正しい値になるのか求めてください。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/15 19:30

肝心の R7 という記号の説明が不足しているようですが、

テイラー展開を n-1 次項でまでで打ち切った誤差を
n 次の剰余項と呼び、慣用では Rn と書きます。
剰余項を明示する式は復数知られていて、
それぞれ人の名前がついていますが、高校で習うものは
ラグランジュの剰余項 Rn = (f^(n)(c)/n!)(x - a)^n です。
f^(n) は f の n 次導関数、a はテイラー展開の中心、
c は a < c < x または x < c < a を満たす実数を表します。

この記号により、sin x のマクローリン展開
すなわち a = 0 を中心とするテイラー展開の R7 は、
R7 = ((-cos c)/7!)x^7 となります。
0 < c < x < π/4 により、1 > cos c > cos x > 1/√2 だから
|R7| = (|cos c|/7!)x^7 < (1/7!)(π/4)^7 ≒ 3.65×10^-5.
右辺の近似値は、π の近似値を十分細かく知っていれば
根性で筆算もできますが、私は電卓に頼りました。

R７ を無視した近似が小数点以下何桁まで正しい値になるのかは、
sin x の真値の小数第 5 位や第 4 位の数字によっても微妙に違う
ので、この結果から「何桁まで」という結論には結びつきません。
たぶん小数第 4 位くらいまで正しい(誤差による繰り上がりがなければ)
くらいの結論が妥当かと思います。

この回答へのお礼

説明不足の質問をしてすみませんでした。
解答ありがとうございました！

お礼日時：2019/11/16 06:04