マクローリン展開の問題教えてください。

sin(x+π/4)のマクローリン展開を求めてください。という問題です。
教えてください。

お願いいたします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/03 20:07

マクローリン展開とは、テイラー展開を「0」の周りで行うものです。

つまり
　f(x) = f(0) + f'(0)*x + [ f''(0)/2! ]*x^2 + [ f'''(0)/3! ]*x^3 + ・・・ + [ fn(0)/n! ]*x^n + ・・・
( fn(x) は f(x) のｎ回微分）
です。

　この式に当てはめて書き下せばよいだけです。

　具体的にやってみれば、
　　f(x) = sin(x+π/4)
なら、
　　f(0) = sin(π/4) = √2 /2
　　f’(x) = cos(x+π/4) 　より f’(0) = cos(π/4) = √2 /2
　　f’'(x) = -sin(x+π/4) 　より f’'(0) = -sin(π/4) = -√2 /2
　　f'’'(x) = -cos(x+π/4) 　より f’''(0) = -cos(π/4) = -√2 /2

これを繰り返すと
n が偶数のとき
　　fn(0) = (-1)^(n/2) * √2 /(2 * n!) x^n
n が奇数のとき
　　fn(0) = (-1)^[ (n-1)/2 ] * √2 /(2 * n!) x^n
になるようです。

　つまり

　　sin(x+π/4) = √2 /2 + (√2 /2)x - (√2 /4)x^2 - (√2 /12)x^3 + ･･･

　現実には、√2 /(2 * n!) がどんどん小さくなっていきますので、ある程度以上の n は「十分に小さいので無視できる」ということで省略することが多いです。