①から②への変形方法を教えてください！

①から②への変形方法を教えてください！

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/11/27 17:38

∑[k=0~k]{3(k+1)-2}=3∑[k=0~k]k+∑[k=0~k]1=3/2*k(k+1)+(k+1)=(k+1)(3/2*k+1)

と普通、分解して和を求めるんだけどね。

∑[k=0~k]k=∑[k=1~k]k＝1/2*k(k+1)・・・ｋがｋ＋１個あるかｋ＋１がｋ個あるかだけだね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/11/27 17:35

①は、なぜそうしているのか分かりませんが、最終項以外の

S1 = 1 + 4 + 7 + ･･･ + (3k - 2)

を「初項 1、公差 3、項数 k の等差数列の和」として、公式から

S1 = (1/2)k{2 + (k - 1) × 3}
　 = (1/2)k(3k - 1)

として、これに最終項

　{3(k + 1) - 2} = 3k + 1

を加えたものを②にしています。

どうせやるなら、①全体を

「「初項 1、公差 3、項数 (k + 1) の等差数列の和」として、公式から

Sk = (1/2)(k + 1){2 + k × 3}
　 = (1/2)(k + 1)(3k + 2)

にすれば、一挙に最終行の結果まで行ってしまうのではないかと思うのですが。

そのようにせずに画像のようにしている理由は分かりません。

あるいは、等差数列の和の公式を使わなくとも

① = Σ[i=1~k+1](3i - 2)
　= Σ[i=1~k+1](3i) - Σ[i=1~k+1]2
　= 3Σ[i=1~k+1]i - 2(k + 1)

で「数列の和の公式」
　Σ[i=1~n]i = (1/2)n(n + 1)
を使って

① = (3/2)(k + 1)(k + 2) - 2(k + 1)
　= (1/2)(k + 1){3(k + 2) - 4}
　= (1/2)(k + 1)(3k + 2)

としてもよいと思います。
これが一番簡単かな。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/27 17:01

おかしな解答ですねえ。

等差数列の和の公式を使えば
1 + 4 + 7 + ... + (3k-2) = (1/2)k{1 + (3k-2) } なので、
両辺に 3(k+1)-2 を足して
1 + 4 + 7 + ... + (3k-2) + {3(k+1)-2} = (1/2)k(3k-1) + (3k+1) ですが、

同じ公式を使って一気に
1 + 4 + 7 + ... + (3k-2) + {3(k+1)-2} = (1/2)(k+1){ 1 + (3k+1) } = (1/2)(k+1)(3k+2)
とできるので、②を経由する意味が解りません。