基底と次元について

次の連立一次方程式の解空間Wの基底を1組求め、その次元を答えよ。
x+y+z-3w=0
2x-3y+z+w=0
という問題について質問です。

私の答えは
Span{(-4/5,-1/5,1,0),(8/5,7/5,0,1)}
dimW=2
になったのですが、先生の答えは1,0が無く、符号が逆になっており、
Span{(4/5,1/5),(-8/5,-7/5)}
でした。

私の答えでも正解なのでしょうか？間違っていたら正しい考え方を教えて下さい。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/11/28 09:08

解空間が2次元だから基底ベクトルの項数も2にしたんですかね？

そういう話なら、その先生はいかれてます。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/28 00:18

W を { (x,y,z,w) } で表すと、R^4 の 2次元部分空間です。

基底は R^4 の元であるべきで、先生よりむしろ貴方の答えのほうが正解です。
W の基底が { (4/5,1/5), (-8/5,-7/5) } だというのは、荒唐無稽だとしか。
符号が逆については、{ e1, e2 } が基底であるとき {-e1, -e2 } も基底なので
あまり気にしないほうがよいでしょう。