数学の問題で質問です。上から問題文、解答、自分の解答です。 ⑵では、すべての整数nを、5k,5k±1

数学の問題で質問です。上から問題文、解答、自分の解答です。
⑵では、すべての整数nを、5k,5k±1,5k±2とおいても解けますか？
そして、私の回答に誤りがあれば教えてください。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/01/02 13:06

考え方は合っている。

負の余りを良しとするかは、除法（割り算）の定義次第だね。
ちなみにユークリッド除法の定義だと、最小非負剰余といって負の数でない最小の数を余りと定義している。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/01/02 13:36

５ｋ＝５n・・・ｋ＝ｎ

５ｋ＋１＝５n+1・・・ｋ＝ｎ
5ｋ＋２=５ｎ＋２・・・ｋ＝ｎ
５ｋ＋３＝５（ｋ＋１）－５＋３＝５ｎ－２・・・ｋ＋１＝ｎ（ｋ＋１も整数）
５ｋ＋４＝５（ｋ＋１）－５＋４＝５ｎ－１・・・ｋ＋１＝ｎ（ｋ＋１も整数）
よって、５ｋ、５ｋ＋１、５ｋ＋２、５ｋ＋３、５ｋ＋４は
５n、５ｎ±１、５ｎ±２として良い。

５ｎ±２で余りー２はまずいね。余りは正の数。
５（５ｋ²±４ｋ＋ｋ＋１）＋２と５（５ｋ²±４ｋ＋ｋ）＋３で
余りは、１，３，１、２，３でであり、５で割り切れない。
の方が良いと思います。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/01/02 13:41

5k,5k±1,5k±2とおいても解けますか？

＞＞＞実際にそのような解法を掲載している参考書を見た記憶があります

なおあなたの答案は、「n²+n+1=」　で始めていない所などなど、減点されかねない細かい記述の修正点はたくさんあります。
マイナスの余りもプラスの余りに変換しておく方が無難かもしれません。
すなわち、割られる数=商x割る数+あまり、を式辺形して「あまり-2」は、「あまり+３」にしておくのが無難という事です。→n²+n+1=５(5k²-3k)+3 としてあまり＋３

うまく記述する技術が無いならば、３つではなく５つに場合分けするのが無難だと思います。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2020/01/02 14:00

適切ではないように思います。

誤りと云えるかどうかは 私には 分かりませんが、
普通に考えて「9 を 5 で割る」と云えば
「商が 1 で余りが4 」であって、
「商が 2 で 余りが -1 」とは云いませんよね。

No.5 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/01/03 00:21

5k,5k±1,5k±2として説明しても誤りではありません。

ただし、
(1) 5k-2
(2) 5k-1
(3) 5k
(4) 5k+1
(5) 5k+2
として、代入した結果の余りを正の整数で表したほうが適切だと思います。
余り3を-2として処理するのは解答者のテクニックですが、最終解答の余りを-2とするのは計算途中とみなされるか、剰余類の表し方を理解していないと判断されるかも知れません。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/03 00:53

考え方は正しいと思います。

ただ、書き方にちょっと難があります。

まず、「すべての整数nをn,n±1,n±2とする」は、凡ミスでしょうが
意味不明になってしまっています。
「すべての整数nは、整数kを用いて5k,5k±1,5k±2のどれかで表される」
とでも修正すれば、ここはok.

計算は、そのままでよいとして、

最後の文章で「あまりは -2 であり」も、やや問題。
大学以降で「剰余系」というものを使うようになると
5 で割って 3 余ることと - 2 余ることを区別しなくなるのですが、
高校生がこの書き方をしてしまうと
「『あまり』が何だか解ってない」とういう無粋なツッコミを招きがちです。
質問掲示板だけでなく、テストの採点においてもね。
「(i)(ii)(iii)の如く 5 で割った余りが 0 でない」程度の表現で
逃げておけばよいのではないかな。