数学についてです。 この三重積分を写真のように解いたのですが、ここから先をどのように計算すれば良いの

数学についてです。

この三重積分を写真のように解いたのですが、ここから先をどのように計算すれば良いのかヒントなどでも良いので教えてください。


∫ ∫ ∫ [D] 1/(x^2+z^2-1)dzdydx

積分領域D={0≦z≦√(x^2-1),0≦y≦x^2,2≦x≦3}

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/11 21:44

=　(π/4)∫[2,3]{ x^2/√(x^2 - 1) }dx

まではそれでok.
あとは x = 1/cos t で置換すれば、
(π/4)∫[2,3]{ x^2/√(x^2 - 1) }dx
= (π/4)∫[arccos(1/2), arccos(1/3)]{ 1/(cos x sin x) }{ (sin x)/(cos x)^2 dt }
= (π/4)∫[arccos(1/2), arccos(1/3)]{ 1/(cos t)^3 }dt
= (π/4)∫[arccos(1/2), arccos(1/3)]{ (cos t)/( 1 - (sin t)^2 )^2 }dt
更に u = sin t で置換して、
= (π/4)∫[sin arccos(1/2), sin arccos(1/3)]{ 1/( 1 - u^2 )^2 }du
= (π/4)∫[√(1 - (1/2)^2), √(1 - (1/3)^2)] (1/4){ 1/(u + 1) + 1/(u + 1)^2 - 1/(u - 1) + 1/(u - 1)^2 }du
= (π/16)[ log(u + 1) - 1/(u + 1) - log(u - 1) - 1/(u - 1) ]_{ u=√(1 - (1/2)^2), √(1 - (1/3)^2) }
= (π/16)[ log((u + 1)/(u - 1)) - 2u/(u^2 - 1) ]_{ u=√3/2, 2√2/3 }
= (π/16)( log((2√2/3 + 1)/(2√2/3 - 1)) - log((√3/2 + 1)/(√3/2 - 1)) - 2( 2√2/3)/(( 2√2/3)^2 - 1) + 2(√3/2)/((√3/2)^2 - 1) )
= (π/4)(3√2 - √3 + log(1+√２) - (1/2)log(2+√3) ).

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2020/01/12 05:49