No.1ベストアンサー
- 回答日時:
柱面の曲線はxy平面の極座標で r⁴=r²cos2θ
(1) θの範囲、|θ|≦π/4, θ=3π/4~5π/4 で、r²=cos2θ。
(2) (1)以外の θで r=0
この範囲は対称性から、θ=0~π/4 の範囲の体積を求め8倍すればよい。
この r,θに対して、球面は z=√{1-(x²+y²)}=√(1-r²) となる。したがって、体積Vは
V=8∫[θ=0→π/4]∫[r=0→cos2θ] √(1-r²) (dr rdθ)・・・・r²=uと変換して
=8∫[θ=0→π/4]∫[u=0→cos²2θ] (1/2)√(1-u) (dudθ)
=8∫[θ=0→π/4] { (1/2)[(-2/3)(1-u)³/²] [u=cos²2θ,0] } dθ
=8∫[θ=0→π/4] (1/3){1-(1-cos²2θ)³/²} dθ =(8/3)∫[θ=0→π/4] {1-(sin²2θ)³/²} dθ
=(8/3) {π/4 - ∫[θ=0→π/4] (sin2θ)³ dθ }・・・・2θ=v と変換して
=(8/3) {π/4 - (1/2)∫[v=0→π/2] (sin v)³ dv }
=2π/3 - (4/3)∫[v=0→π/2] (sin v)³ dv・・・・積分は下記を使用
=2π/3 - (4/3)(2/3)
=2π/3 - 8/9
∫[v=0→π/2] (sin v)³ dv=∫[v=0→π/2] (1-cos² v)sin v dv・・・・・ cos v=w と変換して
=∫[w=1→0] (1-w²)(-dw)=[w-w³/3][w=1,0]=1-1/3=2/3
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 大学数学の微積分の問題です。 曲面√x+√y+√z=1と3つの座標平面x=0,y=0,z=0で囲まれ 1 2022/07/05 13:49
- 数学 大学数学の微積分の問題です。 曲線 y^2=x(logx)^2 x>0 y^2=0 x=0 のループ 1 2022/07/05 13:47
- 数学 球面と接する直線の軌跡が表す領域 4 2023/07/30 12:37
- 高校 数3 面積 4 2022/05/11 12:37
- 数学 数II 質問 放物線y=3-x²(-√3≦x≦√3)とx軸に平行な直線が異なる2点A,Bで交わるとき 3 2023/08/16 18:17
- 数学 数学『積分』 2つの曲線の間の面積 公式は 「y=f(x)−y=g(x)」 ここでいう曲線は直線も入 3 2023/03/25 00:13
- 予備校・塾・家庭教師 教えてください(>人<;) 2つ目の質問が理解できなくて困ってます! 2曲線の囲まれた部分の面積を求 2 2022/11/12 07:08
- 数学 数学の問題について 1 2023/02/13 18:40
- 地球科学 高3地学です。一通りといてみた問題ですが、授業で習った範囲外のため有識者の方、ご教示頂けると幸いです 2 2022/08/12 00:25
- 数学 写真について質問なのですが、 ①の図の面積Sを求めるとき、②と③の図の面積、つまりS=S2+S3で求 4 2023/04/27 17:20
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
cos π/8 の求め方
-
数3の極限について教えてくださ...
-
cos(10π/3)は計算可能ですか?
-
重積分の変数変換後の積分範囲...
-
複素数のn乗根が解けません
-
極座標A(2,π/6)となる点を通り...
-
扇形の図形に長方形が内接
-
重積分について
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
数学の難問です。わかりません。
-
次の複素数を極形式で表せ。偏...
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
離散コサイン変換に関して、な...
-
1/(sinx+cosx)の積分
-
複素平面の問題
-
数学
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
区間[0,1]で連続な関数f(x)に...
-
2重積分 変数変換をする場合 ...
-
sin(sinx)=cos(cosx)のグラフに...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
数3の極限について教えてくださ...
-
cos π/8 の求め方
-
数学IIIの積分の問題がわかりま...
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
積分計算(定積分)
-
複素数のn乗根が解けません
-
arccos0の値ってなぜπ/2なんで...
-
sinθ・cosθの積分に付いて
-
扇形の図形に長方形が内接
-
1/5+4cosxの0→2πまでの積分で、...
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
五芒星の角(?)の座標
-
重積分について
-
cos(10π/3)は計算可能ですか?
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
xsinx-cosx=0 の解と極限
-
回答者どもがなかなか答えられ...
-
1/(sinx+cosx)の積分
おすすめ情報
r²=cos2θなのでrの積分範囲は0≦r≦√ cos2θにならないのですか?