高校数学、立体の体積、積分

画像の問題１４に関して、平面α：ｚ＝ｘの下の部分の体積を直接求めることはできないのでしょうか？（大学教養程度の数学を用いても良いです）私は上の部分が結局、放物線を外周とする錐体と半円錐体であることに気が付けず、下の部分を画像２枚目のようにしてΔθ≒sinΔθより、微小体積を底面がＰＱ×Δθの４角錐に近似し求めようとしましたが、その「高さ」にあたるものをどうすれば求められるかがわからず、断念しました。（そもそもこのような近似が正しい１次近似になっているかの検証はしていませんし、難しそうです）

質問者からの補足コメント

• 

  ２枚目です

  
    補足日時：2020/03/02 22:41

• 

  ３枚目です。よろしくお願いします。

  
    補足日時：2020/03/02 22:44

No.6 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/03/04 21:11

不安なので#1さんの方針で検算した。

y=yの断面を考え、断面の2つの面積S₁、S₂をy軸に沿って積分すれば求める体積V'が出る。
S₁は３角形だから
S₁={(1-y²)/2}²/2=y⁴/8 - y²/4 + 1/8

S₂の断面の曲線は z=1-√(x²+y²) だから

ここで、z=1-√(x²+y²)　だが、#5の　f(x,y)=√(x²+y²)+1　は誤り。ただ、計算は合う。

S₂=∫[x=(1-y²)/2, √(1-y²)] {1-√(x²+y²)} dx
=[x-(1/2){x√(x²+y²)+y²log(x+√(x²+y²)}] [x=√(1-y²), (1-y²)/2]
=√(1-y²) - (1-y²)/2 - (1/2){ √(1-y²)+y²log(√(1-y²)+1)
　　　　-(1-y²)/2・(1+y²)/2 - y²log( (1 -y²)/2+(1+y²)/2) }

=√(1-y²) - (1-y²)/2 - (1/2){ √(1-y²)+y²log(√(1-y²)+1) - (1-y²)/2・(1+y²)/2 - 0
=(√(1-y²))/2 - (1-y²)/2 - (1-y⁴)/8 - (y²/2)log(√(1-y²)+1)
=(√(1-y²))/2 - y⁴/8 + y²/2 - 3/8 - (y²/2)log(√(1-y²)+1)

S₁+S₂=(√(1-y²))/2 + y²/4 - 1/4 - (y²/2)log(√(1-y²)+1)

したがって、求める体積は
V'=2∫[y=0,1] (S₁+S₂)dy=π/6-2/9

となって、#3と一致する。＼(^o^)／

なお、計算の気力がなく、積分は maxima に任せた。m(_ _)m

この回答へのお礼

ありがとうございます、私も1番さんの方針でやり直しました。解決できました

お礼日時：2020/03/04 21:16

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/03/03 21:38

#4 は大ボケでした。

どうも展開は難しいので#2とは逆に正攻法で積分する。

錐体の式は#2のように　f(x,y)=√(x²+y²)+1 , xy平面の錐体の底は x=√(1-y²) 、平面 z=xの切断面の
xy平面の射影は　x=(1-y²)/2
したがって、積分領域はこの曲線に囲まれた三日月の部分となる。

すると、求める表面積は公式から　S=∫√(1+fx²+fy²) dxdy となる。
fx=x/√(x²+y²) , fy=y/√(x²+y²) だから、√(1+fx²+fy²)=√2

S=∫√2 dxdy=2∫[y=0→1] {∫[x=(1-y²)/2→√(1-y²)] √2 dx} dy
=2√2∫[y=0→1] {√(1-y²) - (1-y²)/2}dy=2√2{ [(1/2){y√(1-y²) +sin⁻¹y} - (y-y³/3)/2] [y=1,0]}
=√2{ [{y√(1-y²) +sin⁻¹y} - (y-y³/3)] [y=1,0]}
=√2{ sin⁻¹1 - (1-1/3) }=√2(π/2-2/3)

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/03/03 17:59

表面積。

円錐の斜面を平面で転がすと、切断面bOは転がす面に垂直だから、直線となる。
つまり、切断した、上半分を展開すると３角形となる。

扇型の面積をSとすると円弧の長さはl=2π、半径はr=√2、だから扇型の角度はθ=l/r=2π/√2=(√2)π。
したがって、
S=r²θ/2=(√2)π≒4.44

頂点aとbOの直線で作る３角形の面積をS'とするとS'の高さは1/√2、底辺半分は
√{(√2)²-(1/√2)²}=√(2-1/2)=√(3/2)
したがって、
S'=2{(1/√2)√(3/2)}/2=(√3)/2≒0.866
したがって、S-S'>S' なので

ゆえに求める面積は
S'=(√3)/2

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/03/03 17:12

訂正。

錐体の半分だったので求めるものは
V'=π/6-2/9 でした。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/03/03 16:59

どのような切り口でも積分が面倒でした。

図のbcOの体積をV'、3角錐の半分acOのの体積をV=π/6、abOの錐体の体積をV''とすると
V'=V-V''=π/6-V'' であり、V''を求めればV'がわかる。

錐体V''の底面積Sを図の赤色の蒲鉾の断面、V''の高さはab=1/√2 なので V''=S/(3√2) となる。
もとの円錐の式は x²+y²=(z-1)²
切断平面は z=x だから、このときの yは y²=-2x+1 → x=(1-y²)/2 となる。
yの位置のS面の斜面の長さは直角二等辺３角形から √(x²+z²)=(√2)x　である。

したがって、
S=2∫[y=0,1] (√2)x dy=2(√2)∫[y=0,1] (1-y²)/2 dy=(√2)[y-y³/3] [y=1,0]
=(√2)(1-1/3)=(√2)2/3

すると
V''=S/(3√2)=(√2)2/3/(3√2)=2/9≒0.44
V'=V-V''=π/6-2/9≒0.52>V''≒0.44
ゆえに、求める体積は
V''=2/9

表面積は難しい。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/02 23:52

ぱっと見だけど, y軸に垂直にスライスしてできないかなぁ.

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/03/04 21:17