一辺の長さが3の正四面体ABCDがある。 このとき ・Aから⊿BCDに下ろした垂線AHの長さ ・正四

一辺の長さが3の正四面体ABCDがある。
このとき
・Aから⊿BCDに下ろした垂線AHの長さ
・正四面体ABCDの体積

の求め方をご教示くださいm(*_ _)m

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2019/12/19 12:23

ＢＨ＝ＣＨ＝ＤＨ＝3√3/2＊2/3＝√3・・Ｈは⊿BCDの重心から

３²＝ＡＨ²＋ＢＨ²、ＡＨ＝√(９－３)=√6
⊿BCDの面積は3√3/2＊3/2=9√3/4
よって、正四面体ABCDの体積＝1/3*√6*9√3/4=9√2/4

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/17 17:54

―辺の長さを2L=3、CDの中点をMとすると

ABMを垂線AHを含むから
AHの長さ=h、BHの長さをxとすると
x^2+h^2=4L^2 ①
(√(3)L-x)^2+h^2=3L^2 ②

①-②
2√(3)Lx=4L^2
x=(2/√(3))L=√(4/3)L
①から
h^2=4L^2-(4/3)L^2=(8/3)L^2
→ h=(2√(2)/√(3))L=(2√(6)/3)L=√(6)

体積は 底面積×高さ÷3 で求まります。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/12/17 00:16

「立方体の頂点を 1つおきにとると正四面体ができる」というのも使えると便利なことがある. 一辺の長さが 3 の正四面体は「一辺の長さ 3/√2 の立方体」から作ることができて,

・AH の長さは立方体の (最長の) 対角線の 2/3 になって 3/√2 × √3 ×2/3
・体積は立方体の体積の 1/3 だから (3/√2)^3 × 1/3
だ.

No.1 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2019/12/16 22:50

抑えておくべきところは、正四面体の面はすべて正三角形であるということです。

正四面体の頂点Aから底面の△BCDに垂線AHをおろすとHは正三角形BCDの重心になります。
重心は三角形のそれぞれの中線の交点で2：1に分けられます。つまり、1/3、2/3になるということです。
正三角形の頂点から中線は垂直に交わります。
これらを抑えて問題を解きます。
△ABHを使ってAHを求めます。ABの長さはわかっているのでBHがわかれば三平方でAHを求められます。
正三角形BCDのBから中線BEを引きます。HはBEを2：1に分けているのでBEがわかればBHは求まります。
△BCEで、BC=3、CE=3/2。60°の直角三角形の比で1：2：√3を使って、
CE：BE=1：√3=3/2：BE
BE=(3/2)√3
BHはBEの2/3倍なのでBH=(3/2)√3×(2/3)=√3
△ABHで、AB=3、BH=√3から三平方の定理を使って、
AH^2=AB^2-BH^2
AH^2=3^2-(√3)^2=9-3=6
AH>0よりAH=√6

A-BCD=△BCD×AH×1/3
A-BCD=CD×BE×1/2×AH×1/3
A-BCD=3×(3/2)√3×1/2×√6×1/3=(9/4)√2