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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
直線BHと辺CDとの交点をMとしますと、点Mは辺CDを2等分します。
三平方の定理から AM=BM=3√3/2
△ABMで余弦定理から cos∠ABH=(AB^2+BM^2-AM^2)/(2AB・BM)=√3/3
∴sin∠ABH=√{1-(cos∠ABH)^2} =√6/3
∴AH=ABsin∠ABH =√6
正四面体ABCDの体積は △BCDを底面、AHを高さとすると
(正四面体ABCDの体積)=(1/3)×√6×{(1/2)×3×3√3/2} =9√2/4
正四面体ABCDの体積と 四面体EBCDの体積の比は AB:EB=3:2 なので
∴V=(2/3)×(正四面体ABCDの体積)=3√2/2
No.2
- 回答日時:
△ABH≡△ACH≡△AHDよりBH=CH=DH
Hは正三角形BCDの外心,重心なので△BCDの点DからHを通って辺BCに交わる点をMとすると
DH=(2/3)DM
DM=BDsin60°=(3/2)√3
DH=(2/3)*(3/2)√3
AH=√(AD^2-DH^2)=√(3^2-3)=√6
sinABH=AH/AB=√6/3
正四面体ABCDの体積=(1/3)*△BCD*AH
=(1/3)*3*(3/2)√3*(1/2)*√6
=(3/4)√18=(9/4)√2
四面体EBCDの体積=正四面体ABCDの体積*(2/3)
=(9/4)*(2/3)*√2=(3/2)√2
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