球形内の体積より

球形内の体積より下から何センチの辺りのあるかが知りたいのですが積分がわかりません。
どなたかお教えください。また体積の増減により、今後自分でわかるよう式もお教え願えたら幸いです。
球形内　67t
半径　5375mm
以上です。よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： nekochari 回答日時： 2006/04/23 03:25

　とりあえず、球の部分的体積の求め方の積分から。

　x-y 平面の第１象限に半径rの1/4円弧を書きます。
　x 軸との交点は(r,0)、y 軸との交点は(0,r)、式は y = √(r^2 - x^2)です。この円弧をx軸を中心として回転させた球（半球）を考えます。
　x 軸との交点を球の底と考えます（つまり右側が下、左側が上）。底からhまで水（？）が溜ったとして、xが r-h からrまでの部分の体積Vを求めることにします。
　V = π∫(r^2 - x^2)dx （積分範囲 r-h から r)となります（これは回転体の体積を求める公式V=π∫f(x)^2 dx に f(x) = √(r^2 - x^2)を代入したもの）。
　これを計算すると
　V = (π/3) * h^2(3r-h) …… ( 0 ≦ h ≦ 2r )
という比較的単純な式が出てきます。
　これが、半径rの球の、底から高さhまで水が溜ったときの体積Vを求める式です。
　重さとの関係のようですから、h → 重さ の変換では、単位に気をつけながら、比重をVに掛ける必要があります。長さの単位をcmに統一すると体積がmlの単位で出ます。比重 g/ml を掛けると 重さ g が出ます。
　さて、逆に体積からこのhを求めるというのは、このhに関する３次方程式の解を求めるということになりますから、ちょっと厄介ですね。数値計算をするしかないようです。パソコンや関数電卓があれば、３次式ですから、試行錯誤でもすぐに近似解は得られそうですが、もし、球の半径 r が特定の値に固定されているのなら、r と V （もしくは重さ）の関係表をあらかじめ作成しておくのが簡便かもしれません。

この回答へのお礼

的確な回答ありがとうございました。
非常に参考になりました。

お礼日時：2006/04/27 22:49

No.4 回答者： age_momo 回答日時： 2006/04/23 08:51

まずは体積≠質量ではありませんから質問のされ方が間違って

おられると思います。入っているのが水なら1m^3≒1tですので
67m^3になるところを求めてみます。

今、中心の座標が(r,0)にある円は

(x-r)^2+y^2=r^2
y^2=r^2-(x-r)^2=2rx-x^2

で表すことができこれをx軸で回転させると球になります。
あるxにおけるこの球の断面積はπy^2ですから

断面積πy^2=π(2rx-x^2)

よって求める体積V(t)は

V(t)=∫[0→t]π(2rx-x^2)dx=π[rx^2-1/3x^3]
=π(rt^2-1/3t^3)=πt^2(r-1/3t) (ただし0≦t≦2r)

今、r=5.375[m],V(t)=67なので

67=3.1416t^2(5.375-1/3t)

これをExcelソルバーで解くと
t=2.139[m]=213.9[cm]
になりました。これぐらいの式ならゴールシークでも
誤差少なく求めることができると思います。

No.2 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/04/22 23:11

水を入れるということだと思うのですけど、

それなら体積が質量になりますから。
下から詰めるよりも、上から詰めると考える方が
分かりやすいと思います。中心から高さzの位置の
『円』の半径は、√(r^2-z^2)で、面積は
π(r^2-z^2),そこに厚さ-dz、面積π(r^2-z^2)の
薄い円板を考え、∫π(r^2-z^2)(-dz)[z=r～h]
としてやります。それが、上端から水を詰めていき
中心から高さhのところまで詰まった水の質量です。

実際には、1t=1000kg=1×10^6g,
水の体積=質量=π(2/3・r^3-r^2h＋h^3/3),rをcmに直してg単位で質量が求まります。

No.1 回答者： m234023b 回答日時： 2006/04/22 23:10

質問の意味がさっぱりです(x_x；)

この回答への補足

ごめんなさい。質問内容がわかりにくいですね。
球形の容器に水（実際には違いますが）を入れた場合、どのくらいの高さになるのかといった質問です。

補足日時：2006/04/22 23:32