自励系のリッカチ方程式 dy/dt = (-1/4)y(y-2), t≧0 (*)の解き方

自励系のリッカチ方程式 dy/dt = (-1/4)y(y-2), t≧0 (*)
の初期条件 t=0のとき、y=1　を満たす解をy*(t)とする。
このとき、
lim y*(t)が収束すれば、その値を求めよ。
t→∞

の解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• すみません訂正します
  
  「それと、C2e^(t/2)のCのうしろの2がわかりません…」

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/03/09 12:27

No.4 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/03/08 18:58

個人的な思いとしては、変数分離形の微分方程式なので、解けるようになってほしい。

dy/dt = (-1/4)y(y-2)
-4(1/y)(1/(y-2))dy/dt=1
2∫((1/y) - (1/(y-2)))dy=∫dt
2(log|y|-log|y-2|)=t+C1
log|y/(y-2)|=(t+C1)/2
y/(y-2)=C2e^(t/2)

t=0,y=1を代入すると、
-1=C2
y/(y-2)=-e^(t/2)
y=-(y-2)e^(t/2)=-ye^(t/2)+2e^(t/2)
y+ye^(t/2)=2e^(t/2)
y(1 + e^(t/2))=2e^(t/2)
y=y*(t)=2e^(t/2)/(1 + e^(t/2))

lim[t→∞]2e^(t/2)/(1 + e^(t/2))
=lim[t→∞]2/(e^(-t/2) + 1)
=2

この回答へのお礼

ありがとうございます

>-4(1/y)(1/(y-2))dy/dt=1
>2∫((1/y) - (1/(y-2)))dy=∫dt

-4から2になるところが分かりません…

>log|y/(y-2)|=(t+C1)/2
>y/(y-2)=C2e^(t/2)

それと、C2^(t/2)のCのうしろの2がわかりません…

お礼日時：2020/03/09 12:16

No.7 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/03/09 23:00

>すみません、

>>-4(1/y)(1/(y-2))dy/dt=1
>>2∫((1/y) - (1/(y-2)))dy=∫dt
>
>ここで-4が2になるのはどうしてでしょうか

代数を用いた分数の計算による結果。
丁寧に書くとこう。

1/y - 1/(y-2)
=(y-2)/y(y-2) - y/y(y-2)
=(y-2-y)/y(y-2)
=-2/y(y-2)
=-2(1/y)(1/(y-2))

元となる途中式は-4(1/y)(1/(y-2))なので、

-4(1/y)(1/(y-2))
=2(-2(1/y)(1/(y-2)))

となる。

この回答へのお礼

丁寧に教えてくださいましてありがとうございます
よくわかりました

どうもありがとうございました

お礼日時：2020/03/09 23:42

No.6 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/03/09 20:55

>それと、C2e^(t/2)のCのうしろの2がわかりません…

混乱させてしまったね。
係数の2ではなく、積分定数をC1, C2を表現したかっただけ。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます
積分定数C1, C2の2なのですね

すみません、
>-4(1/y)(1/(y-2))dy/dt=1
>2∫((1/y) - (1/(y-2)))dy=∫dt

ここで-4が2になるのはどうしてでしょうか

お礼日時：2020/03/09 22:17

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/09 19:48

個人的な思いとしては、解析的に解けない微分方程式についても

解の存在範囲や極限などが定性的に扱えることも知ってほしい。

この回答へのお礼

定性的にあつかえるのですか…奥深い世界なんですね
すみません、まだ初歩のところでつまづいています

>-4(1/y)(1/(y-2))dy/dt=1
>2∫((1/y) - (1/(y-2)))dy=∫dt

-4から2になるところが分かりません…

>log|y/(y-2)|=(t+C1)/2
>y/(y-2)=C2e^(t/2)

それと、C2e^(t/2)の「Cのうしろの2」がわかりません…

お礼日時：2020/03/09 20:02

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/08 13:06

不真面目な続き。

初期値が y = 1 だが、0 < y < 2 で dy/dx > 0 なので、
解は 1 ≦ y < 2 の範囲で単調増大する。答えは 2 のほうかな。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/03/09 11:30

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/08 09:28

収束するなら dy/dt → 0 だよね。

y(y-2) = 0 となるけれど、どっちが極限かは真面目に計算しないとね。

この回答へのお礼

ありがとうございます
1/2とか2、7/2ではないんですね…

お礼日時：2020/03/08 09:55

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/08 03:09

その方程式が正しいかどうか知らんけど, 変数分離形だから解くのは簡単でしょ?

この回答へのお礼

ありがとうございます

うーん…簡単…ではないです

お礼日時：2020/03/08 09:52