関数方程式　未知関数　No.2

Question

関数方程式における未知関数が何なのか
良くわかりません。

前回の質問で、微分方程式でない関数方程式に
ついて教えて頂きました。
前回の質問：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8158572.html

例として、
すべての指数関数は f(x + y) = f(x)f(y) を満たす。
すべての対数関数は f(xy) = f(x) + f(y) を満たす。
などです。

ここで、
指数関数f(x + y) = f(x)f(y)について、
a^（x+y）=a^x・a^y
であることは理解できます。

対数関数 f(xy) = f(x) + f(y)について、
（対数の底はa）
log(xy)=logx+logy
であることも理解できます。

指数関数a^（x+y）=a^x・a^y
対数関数 log(xy)=logx+logy
において、未知関数とはどれですか？
a^x・a^yやlogx+logyをy=・・・の形にして
yは未知関数と呼ぶのでしょうか？

a^x・a^yやlogx+logyをy=・・・の形にどうすれば
出来るでしょうか？

微分方程式の場合、yを求めてyがなにかしらの関数
になるから未知関数と言うのは理解できます。

また、前回の質問で微分方程式
（1）y'＝f(y/x)
（2）y'＝f(x/y)
について、
(1)と(2)は線形微分方程式,非線形微分方程式どちら
でしょうか？

（1）は線形で（2）は非線形だと認識していますが
正しいでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

NemurinekoNya · Accepted Answer

f(t) = e^tだから
　f(y/x) = e^(y/x)
　f(x/y) = e^(x/y)
よって、
　y' = dy/dx = e^(y/x)
　y' = dy/dx = e^(x/y)
となる。
このままの形では、変数分離法で解くことはできない。

なので、回答NO６で示した
　∫{1/(f(t)-t)}dt = ∫(1/x)dx + c　　（a）
を使うのよ。
すると、
　∫{1/(e^t-t)}dt = ∫(1/x)dx + c　　　（b）
　∫{1/(e^(1/t)-t)}dt = ∫(1/x)dx + c　　（c）
が解となる。

右辺はとにかく、
見た感じ、
（b）（c）式の左辺の積分は、ちょっとできないと思うよ～（笑）。

それよりも、
f(t) = tでやってごらんよ。
（１）　y' = dy/dx = y/x　　　（α）
（２）　y' = dy/dx = x/y　　　（β）
で、f(t) = 1/tとすると、
（１）　y' = dy/dx = x/y　　　（α’）
（２）　y' = dy/dx = y/x　　　（β’）

f(t) = tのとき、
　（１）は線形
　（２）は非線形
f(t) = 1/tのとき、
　（１）は非線形
　（２）は線形
になっている！！
NO５のf(t) = t、f(t) = 1/tは適当にあげたわけではなかったのよ。
ちゃんと意味があったのよ。
（できたら、この微分方程式を解いてみて。タダの変数分離だから、簡単に解けるはず！！）

つまり、f(t)によって、
　（１）が線形になったり、非線形なったりするし、
　（２）も線形になったり、非線形になったりするんだわさ。

alice_44 · Answer

後半については、
A No.1 の一行目に既に書かれているように、
f が何だか決めなくては、
線型だとか、非線型だとか、言いようがない。

(1)(2) が線型になる例： f(t) = 0 (定数関数).
(1)(2) が線型にならない例： f(t) = e^t.

具体的な f 次第。

NemurinekoNya · Answer

NO５に付け足し。

（1）y'＝f(y/x)

y = txとする。　ただし、t= t(x)
　y' = t'x + t = f(t)
　t'x = f(t) - t
  t'/(f(t)-t) = 1/x
　∫{1/(f(t)-t)}dt = ∫(1/x)dx + c　　（a）

これを微分方程式（１）の解と呼べるとするならば、
（a）が（１）の解になります。

☆（1）は線形で（2）は非線形だと認識していますが
正しいでしょうか？
◇
　t'x + t = f(t)
　t' +t/x = f(t)/x

さて、これは、線形でしょうか、非線形でしょうか？

（２）y' = f(x/y) = f(1/(y/x))とおけば。。。

NemurinekoNya · Answer

f(x + y) = f(x)f(y)だけからは、fが指数関数というのは出てこないよ。
x＝y＝0とすると、
　f(0) = f(0）^2
　f(0)＝0、f(0)=1
だから、
　f(x)=0
　f(x)=1
も、
f(x + y) = f(x)f(y)
を満たす。

f(xy) = f(x) + f(y)については、対数関数以外に
f(x)=0
も、この関数方程式の解になる。

それに、
　（1）y'＝f(y/x)
　（2）y'＝f(x/y)
この微分方程式は、fが与えられないと、解けないって。
たとえば、
　f(z) = z
　f(z) = 1/z
みたいに。。。

（I）　f(x+y) = f(x)f(y)
と
（II）　y'= f(y/x)
では、fの意味が違うんじゃないの。
（I）の場合は、fが未知数だし、
（II）の場合は、yが未知数なんだから。

Tacosan · Answer

(2) を非線形だと思った理由はわかったけど, (1) を線形とした理由はないのか....

ところで, 微分方程式
y' = 0
が (2) の形で書けるとは思いませんか?

alice_44 · Answer

関数等式を見て、そこから未知関数を決めようというのが、大間違い。
方程式を見てから未知数を決めたりは、しないものです。

例えば、2x+3y=1 の未知数は、x ですか？ y ですか？
違いますね。先に未知数を決めてから式を立てるのでした。
未知数 x について 2x+3y=1 と立てたのなら、
未知数は x で、解は x = (1-3y)/2、
未知数 y について 2x+3y=1 と立てたのなら、
未知数は y で、解は y = (1-2x)/3 です。

関数等式も、先に未知関数を f と決めて
f(xy) = f(x) + f(y) と立てるから、
解 f(x) = log(x) が求まるのです。
f(xy) = f(x) + f(y) を見てから
どれが未知関数か決まる訳ではありません。
話の順番が、逆です。

B-juggler · Answer

ちょっとだけ気になるから。

対数を取るので、　ｘ、ｙの定義がいりますね？　忘れちゃダメよ～。

ｌｏｇｘ　これは未知関数かなぁ？

底が１０　なら、未知ではないだろうけれど。

今は　ａ　だよね。とすれば、ａが定まっていないと、この関数は分からない関数、

極端な言い方をしたら、グラフかけないんじゃない？

といえるんじゃない？

ａ＾ｘ　も同じ事で、　ａ　が未知である以上、ｋ（ｘ）＝ａ＾ｘ　は

未知関数としていいんじゃない？

分かることと分からないことはきちんと分けておかないといけないと思うよ。

線形非線形は、Ｎｏ．１先生に譲る。σ(・・*)も聴きたい。

何故そう思うのかは聴かないと分からないかもね。

というより、解析の専門家さんに任せたほうがよさそう。

σ(・・*)代数だから。　(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

Tacosan · Answer

簡単な最後のところだけ: これだけではわかりません.

逆に聞いてみます. あなたはなぜ (1) が線形, (2) が非線形だと思ったのですか?

関数方程式 未知関数 No.2

f(t) = e^tだから

この回答への補足

後半については、

この回答への補足

NO５に付け足し。

f(x + y) = f(x)f(y)だけからは、fが指数関数というのは出てこないよ。

(2) を非線形だと思った理由はわかったけど, (1) を線形とした理由はないのか....

関数等式を見て、そこから未知関数を決めようというのが、大間違い。

この回答への補足

ちょっとだけ気になるから。

簡単な最後のところだけ: これだけではわかりません.

この回答への補足

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