一様分布のコンボリューション

下らない質問ですみません。
X1,X2,X3が(0,1)の一様分布に従う場合、
S = X1 + X2 + X3
で表されるＳの分布はどのようにかけますか？
場合分けの段階で混乱してしまいまして…

よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： guuman 回答日時： 2005/05/10 01:35

逆ラプラス変換の部分の公式：

逆ラプラス変換の公式は必要なくラプラス変換の公式を逆に見ればよいのです
しかも自分で簡単に導くことができます
初歩的な置換積分と部分積分だけで導くことができます
すべて両側ラプラス変換で考えたほうがいいでしょう
以下ラプラス変換といえば両側ラプラス変換のことです
積分範囲は－∞から∞です
たとえば

f(t)のラプラス変換をL[f(t)](s)とすると
L[f(t-a)](s)
=∫dt・f(t-a)・exp(-s・t)
=exp(-a・s)・∫dt・f(t-a)・exp(-s・(t-a))
=exp(-a・s)・∫dt・f(t)・exp(-s・t)
=exp(-a・s)・L[f(t)](s)
したがって
L[f(t-a)](s)=exp(-a・s)・L[f(t)](s)・・・(1)

L[h(t)](s)
=∫(0<t<∞)dt・exp(-s・t)
=1/s
すなわち
L[h(t)](s)=1/s・・・(2)

L[t^n・h(t)](s)
=∫(0<t<∞)dt・t^n・exp(-s・t)
=∫(0<t<∞)dt・t^n・(exp(-s・t))'・(-1/s)
=0+∫(0<t<∞)dt・n・t^(n-1)・exp(-s・t)/s
=n/s・∫dt・t^(n-1)・h(t)・exp(-s・t)
=n/s・L[t^(n-1)・h(t)](s)
(途中部分積分を使った)
すなわち
L[t^n・h(t)](s)=n/s・L[t^(n-1)・h(t)](s)
繰り返しｎを下げていくと
L[t^n・h(t)](s)=n!/s^(n+1)・・・(3)
（最後に(1)を使った)


(1)と(3)を組み合わせて一般的な公式を得る

L[(t-a)^n・h(t-a)](s)=exp(-a・t)・n!/s^(n+1)

この公式を使えばｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４も簡単

Ｐ（ｔ）＝ｐ＊ｐ＊ｐ＊ｐ（ｔ）
を両側ラプラス変換すると
Ｌ［Ｐ］（ｓ）＝（Ｌ［ｐ］（ｓ））＾４
Ｌ［ｐ］（ｓ）＝（１－ｅｘｐ（－ｓ））／ｓ
だから
Ｌ［Ｐ］（ｓ）＝１／ｓ＾４－４・ｅｘｐ（－ｓ）／ｓ＾４＋６・ｅｘｐ（－２・ｓ）／ｓ＾４－４・ｅｘｐ（－３・ｓ）／ｓ＾４＋ｅｘｐ（－４・ｓ）／ｓ＾４
両側ラプラス逆変換すると
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾３・ｈ（ｔ）／６－４・（ｔ－１）＾３・ｈ（ｔ－１）／６＋６・（ｔ－２）＾３・ｈ(ｔ－２）／６－４・（ｔ－３）＾３・ｈ（ｔ－３）／６＋（ｔ－４）＾３・ｈ（ｔ－４）／６

よって
ｔ≦０で
Ｐ（ｔ）＝０
０≦ｔ≦１で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾３／６
１≦ｔ≦２で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾３／６－４・（ｔ－１）＾３／６
２≦ｔ≦３で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾３／６－４・（ｔ－１）＾３／６＋６・（ｔ－２）＾３／６
３≦ｔ≦４で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾３／６－４・（ｔ－１）＾３／６＋６・（ｔ－２）＾３／６－４・（ｔ－３）＾３／６
４≦ｔで
ｐ（ｔ）＝０


前回の式ｓ・ｔのところはｓの間違い

Ｐ（ｔ）＝ｐ＊ｐ＊ｐ（ｔ）
を両側ラプラス変換すると
Ｌ［Ｐ］（ｓ）＝（Ｌ［ｐ］（ｓ））＾３
Ｌ［ｐ］（ｓ）＝（１－ｅｘｐ（－ｓ））／ｓ
だから
Ｌ［Ｐ］（ｓ）＝１／ｓ＾３－３・ｅｘｐ（－ｓ）／ｓ＾３＋３・ｅｘｐ（－２・ｓ）／ｓ＾３－ｅｘｐ（－３・ｓ）／ｓ＾３
両側ラプラス逆変換すると
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾２・ｈ（ｔ）／２－３・（ｔ－１）＾２・ｈ（ｔ－１）／２＋３・（ｔ－２）＾２・ｈ(ｔ－２）／２－（ｔ－３）＾２・ｈ（ｔ－３）／２

よって
ｔ≦０で
Ｐ（ｔ）＝０
０≦ｔ≦１で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾２／２
１≦ｔ≦２で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾２／２－３・（ｔ－１）＾２／２
２≦ｔ≦３で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾２／２－３・（ｔ－１）＾２／２＋３・（ｔ－２）＾２／２
３≦ｔで
ｐ（ｔ）＝０

この回答へのお礼

大変丁寧にありがとうございます。
しっかり勉強いたします。
また分からないことがあれば
よろしくお願いします。

お礼日時：2005/05/11 01:43

No.6 回答者： guuman 回答日時： 2005/05/10 13:03

修正

f(t)のラプラス変換をL[f(t)](s)とすると
L[f(t-a)](s)
=∫dt・f(t-a)・exp(-s・t)
=exp(-a・s)・∫dt・f(t-a)・exp(-s・(t-a))
=exp(-a・s)・∫dt・f(t)・exp(-s・t)
=exp(-a・s)・L[f(t)](s)
したがって
L[f(t-a)](s)=exp(-a・s)・L[f(t)](s)・・・(1)

L[h(t)](s)
=∫(0<t<∞)dt・exp(-s・t)
=1/s
すなわち
L[h(t)](s)=1/s・・・(2)

L[t^n・h(t)](s)
=∫(0<t<∞)dt・t^n・exp(-s・t)
=∫(0<t<∞)dt・t^n・(exp(-s・t))'・(-1/s)
=0+∫(0<t<∞)dt・n・t^(n-1)・exp(-s・t)/s
=n/s・∫dt・t^(n-1)・h(t)・exp(-s・t)
=n/s・L[t^(n-1)・h(t)](s)
(途中部分積分を使った)
すなわち
L[t^n・h(t)](s)=n/s・L[t^(n-1)・h(t)](s)
繰り返しｎを下げていくと
L[t^n・h(t)](s)=n!/s^(n+1)・・・(3)
（最後に(2)を使った)　　　　　　　　　　　／／ここ


(1)と(3)を組み合わせて一般的な公式を得る

L[(t-a)^n・h(t-a)](s)=exp(-a・t)・n!/s^(n+1)

この公式を使えばｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４も簡単

Ｐ（ｔ）＝ｐ＊ｐ＊ｐ＊ｐ（ｔ）
を両側ラプラス変換すると
Ｌ［Ｐ］（ｓ）＝（Ｌ［ｐ］（ｓ））＾４
Ｌ［ｐ］（ｓ）＝（１－ｅｘｐ（－ｓ））／ｓ
だから
Ｌ［Ｐ］（ｓ）＝１／ｓ＾４－４・ｅｘｐ（－ｓ）／ｓ＾４＋６・ｅｘｐ（－２・ｓ）／ｓ＾４－４・ｅｘｐ（－３・ｓ）／ｓ＾４＋ｅｘｐ（－４・ｓ）／ｓ＾４
両側ラプラス逆変換すると
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾３・ｈ（ｔ）／６－４・（ｔ－１）＾３・ｈ（ｔ－１）／６＋６・（ｔ－２）＾３・ｈ(ｔ－２）／６－４・（ｔ－３）＾３・ｈ（ｔ－３）／６＋（ｔ－４）＾３・ｈ（ｔ－４）／６

よって
ｔ≦０で
Ｐ（ｔ）＝０
０≦ｔ≦１で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾３／６
１≦ｔ≦２で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾３／６－４・（ｔ－１）＾３／６
２≦ｔ≦３で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾３／６－４・（ｔ－１）＾３／６＋６・（ｔ－２）＾３／６
３≦ｔ≦４で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾３／６－４・（ｔ－１）＾３／６＋６・（ｔ－２）＾３／６－４・（ｔ－３）＾３／６
４≦ｔで
Ｐ（ｔ）＝０　　　　　／／ここ



Ｐ（ｔ）＝ｐ＊ｐ＊ｐ（ｔ）
を両側ラプラス変換すると
Ｌ［Ｐ］（ｓ）＝（Ｌ［ｐ］（ｓ））＾３
Ｌ［ｐ］（ｓ）＝（１－ｅｘｐ（－ｓ））／ｓ
だから
Ｌ［Ｐ］（ｓ）＝１／ｓ＾３－３・ｅｘｐ（－ｓ）／ｓ＾３＋３・ｅｘｐ（－２・ｓ）／ｓ＾３－ｅｘｐ（－３・ｓ）／ｓ＾３
両側ラプラス逆変換すると
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾２・ｈ（ｔ）／２－３・（ｔ－１）＾２・ｈ（ｔ－１）／２＋３・（ｔ－２）＾２・ｈ(ｔ－２）／２－（ｔ－３）＾２・ｈ（ｔ－３）／２

よって
ｔ≦０で
Ｐ（ｔ）＝０
０≦ｔ≦１で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾２／２
１≦ｔ≦２で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾２／２－３・（ｔ－１）＾２／２
２≦ｔ≦３で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾２／２－３・（ｔ－１）＾２／２＋３・（ｔ－２）＾２／２
３≦ｔで
Ｐ（ｔ）＝０　　　　　　／／ここ

No.4 回答者： at9_am 回答日時： 2005/05/07 17:04

まず、S は区間(0,3)、平均 1.5 の正規分布に似た分布になるのは理解できますか？　実は S=X1+X2+...と無限に足すと正規分布になります。

分布の求め方ですが、＃１の方や＃３の方のやり方が一般的で良いんでしょうが、ちょっと難しい。ので、簡単な場合について説明します。
面倒なので S=X1+X2 の場合について説明しますが、 S=X1+X2+X3 の場合も同じように考えます。

今、X2 を固定します。するとX1の分布から f(X1+X2|X2) を知ることができます。分布関数に X2 が入ることに注意してください。
ここで∫f(z1|u)du=f(z1)になることを利用すれば
f(X1+X2)=∫f(X1+X2|X2)dX2
で求めることができます。

同様の方法で S=X1+X2+X3 の場合も求めることができます。

この回答への補足

うーむ、母関数を用いてもよくわからないですね…

補足日時：2005/05/09 01:05

この回答へのお礼

２次元ならば分かるのですが、3次元となると
どうも混乱が生じてしまいます。
素直に積率母関数を用いて計算することにしました。

お手数煩わせて、大変申し訳ありませんでした。

お礼日時：2005/05/09 00:24

No.3 回答者： guuman 回答日時： 2005/05/07 01:21

通常両側ラプラス変換で求めますがこの場合は片側ラプラス変換でもいけます

Ｐ（ｔ）＝ｐ＊ｐ＊ｐ（ｔ）
を片側ラプラス変換すると
Ｌ［Ｐ］（ｓ）＝（Ｌ［ｐ］（ｓ））＾３
Ｌ［ｐ］（ｓ）＝（１－ｅｘｐ（－ｓ・ｔ））／ｓ
だから
Ｌ［Ｐ］（ｓ）＝（１－３・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＋３・ｅｘｐ（－２・ｓ・ｔ）－ｅｘｐ（－３・ｓ・ｔ））／ｓ＾３
逆ラプラス変換すると
Ｐ（ｔ）＝（ｔ＾２・ｈ（ｔ）－３・（ｔ－１）＾２・ｈ（ｔ－１）＋３・（ｔ－２）＾２・ｈ(ｔ－２）－（ｔ－３）＾２・ｈ（ｔ－３））／２

よって
ｔ≦０で
Ｐ（ｔ）＝０
０≦ｔ≦１で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾２／２
１≦ｔ≦２で
Ｐ（ｔ）＝ｔ＾２／２－（ｔ－１）＾２・３／２
・・・・・・・・・・
３≦ｔで
ｐ（ｔ）＝０

丸山ですね

この回答へのお礼

ラプラス変換を勉強したことがないので、
いろいろと調べては見たのですが、逆ラプラス変換の部分の公式がいまいち理解できませんでした。

しかし、このような便利な手法があることが分かり、
大変勉強になりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2005/05/09 00:21

No.2 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/05/07 00:36

X1,X2,X3が互いに独立なのであれば、

それぞれの分布を足した一様分布になるのでは？

この回答へのお礼

その形状を考えています…

お礼日時：2005/05/09 00:18

No.1 回答者： guuman 回答日時： 2005/05/07 00:36

以下ｈは単位ステップ（ヘビサイド）関数とする

確率変数Ｘ，Ｙ，Ｚが互いに独立で密度がｐとすると
Ｘ＋Ｙ＋Ｚの分布Ｆは
Ｆ（ｕ）
＝∫∫∫［ｘ＋ｙ＋ｚ＜ｕ］ｄｘｄｙｄｚ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）・ｐ（ｚ）
＝∫∫∫ｄｘｄｙｄｚ・ｈ（ｕ－ｘ－ｙ－ｚ）・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）・ｐ（ｚ）
Ｘ＋Ｙ＋Ｚの密度Ｐは両辺をｕで微分して
Ｐ（ｕ）
＝∫∫∫ｄｘｄｙｄｚ・δ（ｕ－ｘ－ｙ－ｚ）・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）・ｐ（ｚ）
＝∫∫ｄｘｄｙ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｙ）・ｐ（ｕ－ｘ－ｙ）
＝∫∫ｄｘｄｖ・ｐ（ｘ）・ｐ（ｖ－ｘ）・ｐ（ｕ－ｖ）
＝∫ｄｖ・（ｐ＊ｐ）（ｖ）・ｐ（ｕ－ｖ）
＝（ｐ＊ｐ＊ｐ）（ｕ）

すなわち
Ｐ＝ｐ＊ｐ＊ｐ

＊は畳み込み積分

この回答へのお礼

一般論ではなく、具体的にお願いしたいのですが…

お礼日時：2005/05/07 01:11