数学の劣等生だから分かる事。微分積分は積分から学ぶべきではないですか？

私は数学の劣等生ですから、数学が分からない人の気持ちが良く分ります。微分積分で数学につまずく人が多いのも分かります。

私は微分積分は、積分から教えるべき、学ぶべきだと思います。youtube の優れた先生方の授業でも、私のような数学の劣等生には、微分積分の授業は苦痛です。何故かと言うと微分から教えているからです。数学の劣等生には微分から教えてはいけません。

なぜなら、数学の劣等生にとって「微分」の授業と言うのは退屈で、面白くないからです。ですから、積分から教えるべきなのです。なぜなら「積分はすごい」からです。

つまり、微分より積分の方が「心をつかまれる」からです。「興味を引く」からです。何の役に立つのか分かりやすく、積分の方が「面白い」からです。だから積分の方から先に教えるべきなのです。

私なら、微分積分をどのように教えるか？

図のように、最も単純なグラフを描きます。y=x のグラフです。このグラフなら数学の劣等生でも分かります。

そしてグラフ上の一点からｘ軸上に垂線を垂らし、2等辺直角三角形を作ります。そして、この２等辺直角三角形の面積が、

S=(1/2)x^2 である事を示します。三角形の面積は底辺掛ける高さ÷２ですから、
S=(1/2)x^2 なわけです。これは私のような数学の劣等生でも理解できます。

そして、y=x から、S=(1/2)x^2 という式を作り出す方法として、「積分の公式みたいなもの」を教えます。

y=x^n の式を、S=(1/(n+1))x^(n+1) と変えるのが「積分の公式みたいなもの」です。

この「積分の公式みたいなもの」を使って、

y=x から、S=(1/2)x^2 という式を作り出せます。

この公式は、数学の教科書に載っているような、完全な「積分の公式」ではないので「積分の公式みたいなもの」と呼んでいます。

次に、y=x^0 に、この公式を使うと、

図のように、S=(1/1)x^1 という長方形の面積を計算する式を作り出せます。これには、少し驚きますが、まだ積分の凄さは分かりません。

なぜなら、何も、こんな「積分の公式みたいなもの」を使わなくても、三角形の面積も、長方形の面積も計算できるからです。

従って、まだ積分の有難みも、凄さも分かりません。

私のような数学の劣等生が、積分の驚異的な力に驚くのは、y=x^2 から「積分の公式みたいなもの」を使って式を作り出した時です。

図のように、y=x^2 から、S=(1/3)x^3 という式が得られます。
この式を使わずに、y=x^2 が作り出す面積を計算するのは、酷く面倒です。

従って、この時、「おお～」と成るわけです。数学の劣等生にも、積分の発明が「すごい発明」である事が分かります。

このように教えられれば、私のような数学の劣等生にも積分の凄さが理解でき、微分積分に興味を持つように成り、改めて最初から微分積分を学んでみようという気に成るのではないでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/11 14:52

全くそのとおりだし、歴史的にも積分のほうが微分より古くからありますね。

ただし、積分そのものを扱うと、その理論的背景は少し難しい話が出てきます。
計算も、面倒な極限の話が多くなります。
現在の高校教程が積分の定義や定積分に関する話を一切省いて
微分の逆操作としての不定積分の話だけに矮小化してあるのは、
教えることが簡単で済むようにという配慮からなんですよ。
ちゃんと積分をやったり、微積分学の基本定理も学んでみたりすれば
面白いんですけどねえ。

No.5 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2020/03/11 20:12

うーん？　どうかなあ？

微分積分学の歴史的背景を記した本はいくらでもあるので、そちらを読みながら微積の教科書も併読するスタイルがよさそうですが。たとえばテーラーの定理の導出は積分を使った方がずっとわかりやすいと個人的には思います。

No.4 回答者： mide 回答日時： 2020/03/11 16:02

そうですか，そういう考えもあるだろうし，実際その方が理解しやすい生徒もいるかもしれませんが…。

私も劣等生ですが，微積分的な考えに最初に接したのは加速度，速度，距離の関係だったと思います。
距離を時間で微分すれば速度，速度を微分すれば加速度というのは分かりやすかったです。
加速度をさらに微分した変移も見当がつきました。後にjerkと言うということを知りますが。さらに先の微分もあるだろうと思いますし単位も考えられます。
しかし逆に距離をさらに積分したものが何なのか，意味があるのか，ピンときません。

sinの微分を考えると，0で最大傾斜，(sin x)/xを援用すれば1，π/2で平坦だから0，そこからマイナス方向に行ってπでマイナス方向の最大傾斜，ということでだいたいcosの形が浮かんできます。
しかしsinの積分でπ/2まで行ったときの面積はと言われても，グラフを見て面積を把握できたりしません。cosの積分でも同様です。

というわけで，私には微分を先の方が分かりやすかったと思います。ご参考まで。

No.2 回答者： han-ka-2 回答日時： 2020/03/11 14:48

そっすかぁ。

高校の積分のことでしょうか？　なら，ま，いいか。

積分はとても難しいのです。20世紀前半までの工学的な基礎研究
の論文は，積分が一つとけたら論文になって，みんなが引用する
大業績になりました。そのくらい難しい。実積分なのに複素空間
でしか積分しないのが当たり前という世界。微分がひとつ解けて
論文になることはありませんでした。微分の方が優しい。傾きだ
し。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2020/03/11 14:33

微分と積分は相反する計算なので、

その意味を理解しつつ、同時に学ぶことが必要でしょう。
問題は、なにに役に立つのか、これで興味を引くことだと思います。