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(物理基礎・合成ばね定数)
直列の合成ばね定数の公式の導出についてです。
ネットに書いてあったのを見ながら公式の導出をしていたのですが、一部分からないところがありました。
線を引いたところで、伸びx1のばねとのびx2のばねと伸びx1+x2のばねを引っ張る力が全く同じ(F)になるのはどうしてですか?
伸びもばね定数も違うので全部引っ張る力は違うように思いました。

「(物理基礎・合成ばね定数) 直列の合成ば」の質問画像

A 回答 (5件)

バネ定数k1のバネの左端を引く力をF1,右端を引く力をF2とすると


K1の質量が無視できるくらい軽い物であれば(質量0)であれば、F1=F2です
これは、伸ばされたバネが静止しているのであれば両端に働く力は等しいので当然のことですよね
(バネが加速度aを持っているときでも、バネの質量をmで表せば、運動方程式は ma=F2-F1 でm=0なのだから 0=F2-F1⇔F1=F2です)

同様にして 軽いバネk2の左端を引く力をf1,右端を引く力をf2とすると
f1=f2です

これらを連結したとき連結部分にはK1からの力とK2からの力が働きますが
連結部分が静止するためにはこの2力が釣り合って、F2=f1でないといけないですよね
ということはF1=F2=f1=f2でなければならないということです
これらをFとおけば、F1=F2=f1=f2=Fとなり それぞれのバネの両端を引く力は統一してF(2つのバネを引っ張る力は同じ)で表すことができます
加速度を持つときも運動方程式を考えれば同様の結果となります。
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この回答へのお礼

理解できました。
ありがとうございますm(*_ _)m

お礼日時:2020/03/21 17:25

すでに回答して下さっている方々の仰る通りですね(^^)


まあ、付け加えておくと、
もし、2つのバネが出す力が違うとしたら何が起こるか考えてみる
てのがあります。
図で示されているバネは静止しているので、
バネが静止する状態(力の関係)に落ち着くはずです。
まあ、参考程度ですが、考えてみて下さいね。
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これは結構面白いテーマだとは思いますよ。


私も悩んだ覚えが有ります。

作用反作用だから同じなのはあたり前でも良いのですが
少し深掘りしてみます。

それぞれのバネの引く力をF1、F2として
2つのバネのつなぎめに注目してみましょう。

つなきめの質量は極小なm、
つなぎめにかかる力は右にF2-F1
とすると、つなぎめの加速度αは
α=(F2-F1)/m
つまりF2=F1でなければつなぎめ
は大きな加速度で運動するはずです。

仮につなぎめが右へ運動すれば
F2は減り、F1は増えるから
つなぎめはF1=F2になる点を中心に振動し
いろいろな要因でエネルギーを失ない、
F1=F2となる所に落ち着くでしょう。

これはバネのつなぎめに限らず、
例えばバネの中のある一点にかかる力
にもいえます。

このように考えると、大きさの無い、質量が無限に
小さな「点」に加わる力は、常に釣り合っている
ことになります。つまり、バネのつなぎめ、バネの中の一点
どこをとっても、左右同じカで圧縮、あるいは引き伸ばそうとする
力が働くことになります。

これはつなぎ目にかかるカ全般(例えばロープ上のあらゆる点)にも
いえることなので、頭に叩きこんでおいた方がよいです。
これは最初に述べたように、作用反作用の法則に含まれます。
#作用反作用はもう少し広い法則なので、これは、その一部です。
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No.1 です。



左の「2連ばね」で力を考えてみましょうか?

・まず、右から F の力でを右に引っ張ります。
・ばねは x2 だけ伸びて、復元力 F=-k2*x2 で戻ろうと右の「手」を左に引っ張ります。でもばねの右側では「手の引く力」と「ばねの復元力」がつり合って動きません。
・なので、k2のばねは「ばねの左側」から復元力 F=-k2*x2 で右に引っ張ります。こちらは k1 のばねを引っ張ることで動きます。
・k1 のばねは、このようにして力 F で右に引っ張られます。k1 のばねは x1 だけ伸びて、復元力 F=-k1*x1 で戻ろうと右の「k2 のばね」を左に引っ張ります。k1 のばねとk2 のばねは、お互いに F の力で引っ張り合ってつり合い、動かなくなります。
・なので、k1のばねは「ばねの左側」の壁を復元力 F で右に引っ張ります。壁は、釘の摩擦力 F で踏ん張ってつり合います。

こんな感じで、2つのばねは「ばねのつなぎ目」でそれぞれ「F」の力で引っ張り合い、k2 のばねの右側は「手」でFの力で右方向に引っ張られ、k1 のばねの左側は「釘と壁の摩擦力」によってFの力で左方向に引っ張られます。
各々のばねは、復元力が F=-k1*x1, F=-k2*x2 になる長さに伸びて、両側から引っ張られる力とつり合います。
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>全部引っ張る力は違うように思いました。



違う力どうしの「差」はどこにどう行ってしまうのですか?
「力と力の合成」で、各々どんな力になりますか?
きちんと「矢印」で書き出してみましょう。
「静止している」ということは、各々の力が全てつり合っていて、力を合成すると「ゼロ」になっているということです。そうしないと「運動」が起こりますから。
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