https://gyazo.com/97498ae3210f39b53bcbaeca18f82e33

https://gyazo.com/97498ae3210f39b53bcbaeca18f82e33
のサイトより∮{1/(z-c)}dzは積分により2πiになるとわかりました。
しかし、画像の黒い線で囲んだ部分を積分すると(∮を付けると)2πiになる理由がわかりません。
というのも黒い線で囲んだ部分は上に書いたような∮{1/(z-c)}dzの形ではないためです。(分子を1にしてもいないし。)
なぜ黒い線で囲んだ部分を積分すると(∮を付けると)は2πiとなるのでしょうか？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/04/07 09:35

f(z)={1/(z-1)}Σ_{n=0～∞}{-(z-1)/2}^n

f(z)=Σ_{n=0～∞}{(-1/2)^n}(z-1)^(n-1)
f(z)=1/(z-1)-1/2+(z-1)/4-(z-1)^2/8+(z-1)^3/16-(z-1)^4/32+…
このとき,両辺を,複素平面上の1を中心とする半径rの円C={z;|z-1|=r}で積分すると
∫_{C}f(z)dz=∫_{C}{1/(z-1)}dz-∫_{C}(1/2)dz+∫_{C}{(z-1)/4}dz-∫_{C}{(z-1)^2/8}dz+…
右辺の各積分については,公式から∫_{C}{1/(z-1)}dzは2πiとなり,それ以外は0になります.したがって
∫_{C}f(z)dz=2πi

この回答へのお礼

どうもありがとうございございます。なるほど、過程の展開で公式を使うのですね！

お礼日時：2020/04/07 15:06

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/03 20:07

それには既に↓で答えたが、読まなかったのか。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11551002.html
回答を無視されるのは、寂しいものだな。

黒い線で囲んだ部分には、∮{1/(z-c)}dz の形の項が含まれている。
n=0 の項がそれにあたり、 c=1 である。
周回積分すると n=0 の項だけが 2πi になり、
それ以外の n に対する項の積分は 0 になる。
この話は、前回の回答にも書いたし、今回のリンク先↓
https://gyazo.com/97498ae3210f39b53bcbaeca18f82e33
にも書いてある。

この回答へのお礼

すいませんでした。
読み直します。

お礼日時：2020/04/07 15:07