不定方程式

-4 x^5 + x^2 y^2 - y^3=0
の整数解をお願い致します；

No.1 回答者： タマ時雨 回答日時： 2020/04/29 12:18

(x, y)=(0, 0),(2, -4)

式変形して
4x^5＋y^3＝（xy）^2
左辺が平方数になるという条件から絞り込みました。抜けがあるかもしれません。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/02 20:38

-4x^5 + x^2y^2 - y^3 = 0 の整数解　　←[1]

一旦条件を緩めて、有理数解を考える。
x = 0 のとき、解は y = 0 のみ。
x ≠ 0 のとき、r = y/x と置く。
与式両辺を -x^3 で割って 4x^2 - xr^2 + r^3 = 0.

これは x についての二次方程式だから、
解の公式を使って
x = { r^2 ± √(r^4 - 16r^3) }/8
　= { r^2 ± r √(r^2 - 16r) }/8.　←[2]
x が有理数であることは、
q = √(r^2 - 16r) と置いた　←[3]
q が有理数であることと同値である。

[3]を変形して (r - 8 + q)(r - 8 - q) = 64.
(r - 8 + q) = 8u と置くと
(r - 8 - q) = 8/u となる。
r, q が有理数であることと
u が有理数であることは同値である。
連立一次方程式を解いて
r = 8 + 4u + 4/u,
q = 8 + 4u - 4/u.

これを[2]へ代入すると
x = r{ r ± q }/8
　= 4(1 + u)^3/u　or　4(1 + u)^3/u^2.
となる。
x = 4(1 + u)^3/u　と　x = 4(1 + t)^3/t^2 は
u = 1/t で対応するから、
x = 4(1 + u)^3/u のみで十分である。　←[4]
また、y = xr により
y = 16(1 + u)^5/u^2.　←[5]

さて、ここで整数解を検討する。
u の既約分数表示を u = a/b,
(a は整数、b は自然数、a と b は互いに素)とする。
これを[4][5]へ代入すると、
x = 4(b+a)^3/{ a(b^3) },
y = 16(b+a)^5/{ (a^2)(b^3) }.

b+a は a とも b とも互に素だから、
a(b^3) は 4 の約数、(a^2)(b^3) は 16 の約数
でなくてはならない。
a と b は互いに素だから,ありえる組み合わせは
b = 1, a = ±1, ±2, ±4 に限られる。

これを再び[4][5]へ代入して
(x,y) = (32,512), (54,972), (125,3125),
　　　　(0,0), (2,-4), (27,-243).
この 6個が整数解の全てである。