数学について

log(2x-1)のn導関数を予想して数学的帰納法で証明する問題で、第二導関数以上を予想するときに分数型の微分をしたところ解と合わないのですがこれは間違ったやり方なのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• この微分のやり方は間違っていますか？

  
    補足日時：2020/05/30 02:20

No.1 ベストアンサー 回答者： RubiNeko 回答日時： 2020/05/30 02:09

解が合わない内容の記載が無いですが、普通に説くと

yの第n次導関数をy[n']と書くと
y[1']=2/(2x-1)=2*(2x-1)^(-1)
y[2']=2*(-1)*2*(2x-1)^(-2)
y[3']=2*(-1)*2*(-2)*2*(2x-1)^(-3)
　　から
y[n']=(-1)^(n-1)*2^n*(n-1)!*(2x-1)^(-n)
　　と推定する。
(ｱ)n=1のとき
y[1']=(-1)^(1-1)*2^1*(1-1)!*(2x-1)^(-1)
=(-1)^0*2*0!*(2x-1)^(-1)=1*2*1*(2x-1)^(-1)
=2*(2x-1)^(-1)で成り立つ。
(ｲ)n=k(kは任意の自然数)のとき
y[k']=(-1)^(k-1)*2^k*(k-1)!*(2x-1)^(-k)
　　が成り立つと仮定
　　これをxで微分して
dy[k']/dx=(-1)^(k-1)*2^k*(k-1)!*(-k)*2*(2x-1)^(-k-1)
=(-1)^(k-1)*(-1)*2^k*2*k*(k-1)!*(2x-1)^{-(k+1)}
=(-1)^k*2^(k+1)*k!*(2x-1)^{-(k+1)}=y[k+1']
よって、(ｱ)(ｲ)より数学的帰納法により、
第n次導関数が(-1)^(n-1)*2^n*(n-1)!*(2x-1)^(-n)
と証明されます。