ネットが遅くてイライラしてない!?

(1)dy/dx=-y+y^2

(2)dy/dx+y=(e^x)(y^2)

の微分方程式の解き方を教えてください。

A 回答 (2件)

(1)


与式を変形して、∫{ 1/(-y+y^2) }dy = ∫dx です。
左辺の積分は、被積分関数を部分分数分解すれば求められます。
∫{ 1/(-y+y^2) }dy =∫{ 1/(y-1) - 1/y }dy
= log|y-1| - log|y| + (定数)
です。
log|y-1| - log|y| = x + C  (Cは定数)
を整理して、
y = 1/{ 1 + Ae^x }  (A=±e^C)
となります。

(2)
方程式の両辺を y^2 で割ると、
(1/y^2)(dy/dx) + (1/y) = e^x
です。これを
-(d/dx)(1/y) + (1/y) = e^x
と見て、積分因子法で解くなら、
両辺に -e^-x を掛けて
{(d/dx)(1/y)}e^-x + (1/y){(d/dx)e^-x = -1.
この左辺は積の微分法の形になっていますから、
両辺を x で積分すると
(1/y)e^-x = -x+C  (Cは定数).
整理して
y = 1/{ (-x+C)e^x }
です。
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(1) 変数分離されている。



(2) t = e^x・y とおいてみる。
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