複素数について質問です。 ①4の平方根は±2 ②√4=2 は良いんですが、じゃあ、 ③3-4i の平

複素数について質問です。
①4の平方根は±2
②√4=2

は良いんですが、じゃあ、

③3-4i の平方根は±(2-i)
④√(3-4i)=2-i ?

③は±でいいのはわかります。
質問は④です。①,②の例から√ の方は答えが1通りになるような気がするのですが、だとしたら2-i と -(2-i) のどちらなのでしょうか？

ちなみに、√(3-4i)は複素数なので数字が正、負
という概念がないので、±(2-i) だと考える方は、自分の思う次の反例への意見もお願いします。

反例:

√(3-4i) = ±(2-i) ということは、1つの数が2つの値を取り得ることになります。その場合、たとえば

√(3-4i)-√(3-4i)
=±(2-i)±(2-i) (複号同順ではない)
=-4+2i, 0, 4-2i

と3通りの値をとるということになると思うのですがこれは正しいのですか？複素数とはいえ、同じ数から同じ数を引いたらさすがに0だと思うのですが……？


自分は数Ⅲまで履修済みなので、複素数平面で説明していただいても構いません。

どなたかわかる方いらっしゃいましたら、よろしくお願いします。

No.7 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/06/28 12:06

定義次第だが2価とすると実数の場合と整合しないのが困り者。

偏角θが-90°<θ≦90°
の方を選ぶ。というのがひとつの考え方。
実数の場合の拡張になっている。

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/28 15:24

あ、なんか盛大に間違ってたので、訂正します。

よくある θ の範囲は、
0 ≦ θ < π とか -π/2 < θ ≦ π/2 とかですね。

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/28 15:01

そうそう、No.2 でいくなら、

-π/2 ≦ θ < (3/2)π もなかなか捨てがたい。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/28 14:58

複素√ に一価関数として世間で通用する普及した定義がある

という考えが、そもそも妄想でしかない。
No.2 程度に捉えておくのが健全。 θの範囲は文脈による。
0 ≦ θ < 2π か -π < θ ≦ π あたりがメジャーだとは思うが、
前置きなしでいきなり使えるような普及した事柄ではない。

複素√ に、実√ のように便利で誰もが認める一価化の方法がない
ことの経緯には、どのように一価化しても、√(ab) = (√a)(√b) が
成り立たない例が出てきてしまうことが大きいと思う。
そこで、開き直って、複素√ は多価関数だと言ってみたりする。

あるいは、複素√ は複素数平面上で 0 を含まない単連結領域上で
定義される...と一般化してみたりする。 この √ の定義域は、
θ で制限するよりも一般的であり、定義域上で √ が正則になる
という利点がある。 定義域の設定は、もちろん文脈による。

No.6 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2020/06/28 12:05

√ の定義の仕方にもよるのですが、割と一般的なのは極座標で表現した時に偏角が 0≦θ<πとなるのが √ で、π≦θ<2π となるのが -√ と表記する方法です。

これならば √{実数} の拡張と考えても矛盾は起こりません。
3次方程式 x³=1 の虚数解の一つが他の虚数解の2乗であることを証明する問題では、取り敢えず2つの虚数解をω, ω' とおいて
ω={-1+i√3}/2, ω'={-1-i√3}-2
として考え、
ω'=ω², ω=ω'²
であることを示すというのが定番です。
この様な考え方からすると、
√(3-4i)=-2+i
とするのがよいのではないかと思います。
ただし、この定義が絶対ではないので「√{虚数} は偏角が正の二直角未満のものを指す」と一筆入れておくことをお勧めします。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/28 07:41

再訂正です

C=(全複素数)
とすると
f(z)=√zは定義域がCの時は2価関数です
なので
√(3-4i)=±(2-i)
ですがこれは
√(3-4i)=(2-i,i-2)
という意味です

√(3-4i)-√(3-4i)=(2-i,i-2)-(2-i,i-2)=(0,0)

となります

z∈C
に対して
|z|=r
t=arg(z)
z=re^(it)
と極座標表示した時
0≦t<2πの時

√z=((√r)e^(it/2),(-√r)e^(it/2))

と2価関数となってしまうので

f(z)=√zの定義域はCではなくリーマン面で定義します
Cと同型なDを2枚用意し,これをD_1,D_2とする
D_1:-π≦t≦π
D_2:π≦t≦3π
とする
実軸上でrが等しく,t=πの点同志を同一点とみなし
またt=-πの点とt=3πの点を同一点とみなすことによって
1つの新しい面Rができる.
このRをf(z)=√zのリーマン面という

3-4i=5e^(it),t≒-53.13°の時の3-4iを(3-4i,-53.13°)
3-4i=5e^(it),t≒306.87°の時の3-4iを(3-4i,306.87°)
とすると

√(3-4i,-53.13°)=2-i
√(3-4i,306.87°)=i-2

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/28 05:33

訂正です

C=(全複素数)
とすると
f(z)=√zは定義域がCの時は2価関数です
なので
√(3-4i)=±(2-i)
ですがこれは
√(3-4i)=(2-i,i-2)
という意味です

√(3-4i)-√(3-4i)=(2-i,i-2)-(2-i,i-2)=(0,0)

となります

z∈C
に対して
|z|=r
t=arg(z)
z=re^(it)
と極座標表示した時
0≦t<2πの時

√z=((√r)e^(it/2),(-√r)e^(it/2))

と2価関数となってしまうので

f(z)=√zの定義域はCではなくリーマン面で定義します
Cと同型なDを2枚用意し,これをD_1,D_2とする
D_1:0≦t≦2π
D_2:2π≦t≦4π
とする
実軸上でrが等しく,t=2πの点同志を同一点とみなし
またt=0の点とt=4πの点を同一点とみなすことによって
1つの新しい面Rができる.
このRをf(z)=√zのリーマン面という

3-4i=5e^(it),t≒306.87°の時の3-4iを(3-4i,306.87°)
3-4i=5e^(it),t≒666.87°の時の3-4iを(3-4i,666.87°)
とすると

√(3-4i,306.87°)=2-i
√(3-4i,666.87°)=i-2

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/28 05:27

C=(全複素数)

とすると
f(z)=√zは定義域がCの時は2価関数です
なので
√(3-4i)=±(2-i)
ですがこれは
√(3-4i)=(2-i,i-2)
という意味です

√(3-4i)-√(3-4i)=(2-i,i-2)-(2-i,i-2)=(0,0)

となります

z∈C
に対して
|z|=r
t=arg(z)
z=re^(it)
と極座標表示した時
0≦t<2πの時

√z=((√r)e^(it/2),(-√r)e^(it/2))

と2価関数となってしまうので

f(z)=√zの定義域はCではなくリーマン面で定義します
Cと同型なDを2枚用意し,これをD_1,D_2とする
D_1:0≦t≦2π
D_2:2π≦t≦4π
とする
実軸上でrが等しく,t=2πの点同志を同一点とみなし
またt=0の点とt=4πの点を同一点とみなすことによって
1つの新しい面Rができる.
このRをf(z)=√zのリーマン面という

3-4i=5e^(it),t≒53.13°の時の3-4iを(3-4i,53.13°)
3-4i=5e^(it),t≒413.13°の時の3-4iを(3-4i,413.13°)
とすると

√(3-4i,53.13°)=2-i
√(3-4i,413.13°)=i-2
となる

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/06/28 04:22

0 でない複素数の平方根は 2つあるけど, 「√」という記号で表すのは通常そのうちの一方. ただし「2つあるうちのどっちを『√』という記号で表すか」は定義による.

普通は実数における定義を延長させるため, √x において
・x が正の実数の場合は 2乗して x になる「正の」実数
・x = 0 なら 0
・x が負の実数のときは [√(-x)]i
とする. 他の値については
z = re^(iθ) (r ≧ 0, θ は適当な範囲) に対して √z = (√r)e^(iθ/2)
と設定することが多い. ただし θ の範囲には注意.

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/27 22:24

良い質問であり、答えにくい質問でもある。

他の回答者に叩かれるのを覚悟で自分の回答を書く。

自分の回答は、

√(3-4i)=2-i

となった。

[理由]
・虚数、複素数でも正と負はある。
・既に根号がついており、根号の前にマイナスがついていない。
・「複素数の平方根は？」という問いではなく、「根号つきの複素数は？」という（狭い意味での）問いと解釈した。
⇒いろんなサイトを調べ、解説を読んだけど、一様に「平方するとその（複素）数になるから。」という③の解釈で書かれていて、±をつけていた。
それだったら、「実数に根号をつけたものも√4=±2を書かないと整合が取れないのでは！？」と考えた。