f(t),g(t)∈K[t]とする。fとgで生成されるイデアル(f,g)について、(f,g)={kf

f(t),g(t)∈K[t]とする。fとgで生成されるイデアル(f,g)について、(f,g)={kf+hg | k,h∈K[t]}とする。この時、(f,g)=K[t]であることと、fとg は互いに素であることが同値であることを示して頂きたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/30 23:13

あれ、再質問らしいけれど、前回と違い

今回は質問文が日本語として成立している。

Kが体であれば、多項式環 K[t] は
多項式の次数をユークリッド関数としてユークリッド整域である。
ユークリッド整域は単項イデアル整域だから、
(f,g) = (h) となる K[t] の元 h(t) が存在する。
(h) = K[t] は h(t) が K[t] の単元であることと同値である。

h ∈ (f,g) より、h = fx+gy となる K[t] の元 x(t), y(t) が存在する。
ベズーの補題により、これは ｈ が f, g の最大公約元の倍数であることと同値。
単元の因数は単元なので、 ｈ が単元であれば f, g の最大公約元は単元である。
すなわち、 f, g は互いに素。

f, g が互いに素であれば、再びベズーの補題により、
1 = fx+gy となる K[t] の元 x(t), y(t) が存在する。
よって 1 ∈ (f,g) であり、(f,g) = K[t].