複素フーリエ変換の問題

複素フーリエ変換の問題が分からない。
f(x)={0(x<-a),1 (-a≦x<a),0 a≦x}でa>0の関数を複素フーリエ変換せよ。
が分かりません。途中式や答えも含めて教えてください。

フーリエ変換の公式は、
F(u)=1/(2π)[-∞,∞]{f(t)e^(-iut)dt}だとネットにありました。
これが分かっても解き方が分からないので手詰まりです。

言葉だけでは分からないので実際に問題を解いて回答してください・・・

質問者からの補足コメント

• = (i/u){ e^(-iua) - e^(iua) }
  = (2/u)(sin au).
  i/uのiは一体どこに消えたのですか？
  オイラーの公式にはiはないので、{ e^(-iua) - e^(iua) }がsin(au)になる段階では消えません。
  有理化で消えたかと言えば、分母ではなく分子にiがあるので、これも違います。
  一体どうやって消したのですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/17 11:41

• すいません。これは撤回します。きちんとオイラー公式にありました。見間違いでした。
  
  = ∫[-∞,-a] { f(t) e^(-iut) }dt + ∫[-a,a] { f(t) e^(-iut) }dt + ∫[a,+∞] { f(t) e^(-iut) }dt
  = ∫[-∞,-a] { 0 e^(-iut) }dt + ∫[-a,a] { 1 e^(-iut) }dt + ∫[a,+∞] { 0 e^(-iut) }dt
  
  f(t)の部分が、0や1になっていますが、この0や1はf(x)であって、f(t)ではないので、
  f(t)の所に f(x) = { 0(x<-a), 1(-a≦x<a), 0(a≦x) } の0や1を入れるのは違うのではないですか？

    補足日時：2020/07/17 11:43

• もう一つ質問なのですが、問題は複素フーリエ変換を解けであって、フーリエ変換をせよ、ではありません。
  ご回答の通り解いていったのですが、ただのフーリエ変換ではありませんか？
  問題文は複素フーリエ変換なのですが・・・
  
  (そもそも複素フーリエ変換ってネットで調べても出てこないんですけどね・・・)

    補足日時：2020/07/17 11:51

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/15 20:14

少し前にフーリエ変換の計算例をいくつも質問していた人ですね。

前回、その問題の計算過程を、言葉だけでなく実際に問題を解いて書いておきましたが、
なぜまたもう一度なのでしょう？
最近、このサイトで「賽の河原」という言葉を知っているか？と確認することが多くなりました。

この回答へのお礼

変換と展開は違います．．．

お礼日時：2020/07/15 20:32

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/15 20:51

前回が f(x) = { 0(x<-a), 1(-a≦x<a), 0(a≦x) } の複素フーリエ展開で、

今回が同じ f(x) の複素フーリエ変換だという意味？
そうだったっけ、似たような質問が短期間にたくさんあって、
それが削除されて記録が残ってないので、判らなくなってた。
賽の河原についての思いは変わらないけど。

f(x) = { 0(x<-a), 1(-a≦x<a), 0(a≦x) } について
F(u) = { 1/(2π) } ∫[-∞,+∞] { f(t) e^(-iut) }dt が求めたいなら、
その式のとおり計算したらいいだけじゃない？
何を計算すべきかはその式に書いてあるし、ただ計算するだけで
何か特別の解き方があるわけじゃないし。

(2π)F(u) = ∫[-∞,+∞] { f(t) e^(-iut) }dt
= ∫[-∞,-a] { f(t) e^(-iut) }dt + ∫[-a,a] { f(t) e^(-iut) }dt + ∫[a,+∞] { f(t) e^(-iut) }dt
= ∫[-∞,-a] { 0 e^(-iut) }dt + ∫[-a,a] { 1 e^(-iut) }dt + ∫[a,+∞] { 0 e^(-iut) }dt
= 0 + ∫[-a,a] { e^(-iut) }dt + 0
= [ {1/(-iu)}e^(-iut) ]_(t=-a,a)
= {1/(-iu)}e^(-iua) - {1/(-iu)}e^(iua)
= (i/u){ e^(-iua) - e^(iua) }
= (2/u)(sin au).
よって、
F(u) = (sin au)/(πu).

この回答へのお礼

= ∫[-∞,-a] { f(t) e^(-iut) }dt + ∫[-a,a] { f(t) e^(-iut) }dt + ∫[a,+∞] { f(t) e^(-iut) }dt
= ∫[-∞,-a] { 0 e^(-iut) }dt + ∫[-a,a] { 1 e^(-iut) }dt + ∫[a,+∞] { 0 e^(-iut) }dt

f(t)の部分が、0や1になっていますが、この0や1はf(x)であって、f(t)ではないので、
f(t)の所に f(x) = { 0(x<-a), 1(-a≦x<a), 0(a≦x) } の0や1を入れるのは違うのではないですか？

お礼日時：2020/07/16 13:31

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/16 13:40

＞ f(t)の部分が、0や1になっていますが、この0や1はf(x)であって、f(t)ではないので、

＞ f(t)の所に f(x) = { 0(x<-a), 1(-a≦x<a), 0(a≦x) } の0や1を入れるのは違うのではないですか？

f(x) = { 0(x<-a), 1(-a≦x<a), 0(a≦x) } と
f(t) = { 0(t<-a), 1(-a≦t<a), 0(a≦t) } とは、全く同じ式です。
このレベルで関数のことが解っていないようなら、複素解析の前に
中学校の教科書で関数とは何かから復習したほうがいいような気がします。

この回答へのお礼

すいません。
フーリエ変換の公式は、
F(u)=1/(2π)[-∞,∞]{f(t)e^(-iut)dt}ではなくF(u)=1/√(2π)[-∞,∞]{f(t)e^(-iut)dt}でした。

お礼日時：2020/07/17 11:32

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/17 14:06

＞ フーリエ変換の公式は、

＞ F(u)=1/(2π)[-∞,∞]{f(t)e^(-iut)dt}ではなく
＞ F(u)=1/√(2π)[-∞,∞]{f(t)e^(-iut)dt}でした。

フーリエ変換の定義は、特に先頭の係数に関しては
文脈によって多少の違いがあり、その他にも
F(u)=∫[-∞,∞]{f(t)e^(-iut)dt} となっている場合もあります。
今使っている教科書の流儀に従うのがよいと思います。

この回答へのお礼

F(u)=1/√(2π)[-∞,∞]{f(t)e^(-iut)dt}とF(u)=1/(2π)[-∞,∞]{f(t)e^(-iut)dt}だと答えはそれぞれ違う値になるのですが、それは問題ないのですか？

お礼日時：2020/07/17 14:23

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/17 14:09

＞ もう一つ質問なのですが、問題は複素フーリエ変換を解けであって、

＞ フーリエ変換をせよ、ではありません。

数学というより、日本語のセンスの問題でしょう。
「フーリエ変換を解け」では、言葉遣いがオカシイです。
通常、それを「フーリエ変換をせよ」と言うと思います。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/17 14:39

＞それぞれ違う値になるのですが、それは問題ないのですか？

お互い違う定義で計算していると、話が咬み合わないので、
どの定義を「フーリエ変換」と呼んでいるのか
最初に確認して、意思統一をする必要はあります。