t検定について教えてください。 今、生徒5人の1回目と2回目のテスト結果があり、（平均、不偏分散）は

t検定について教えてください。
今、生徒5人の1回目と2回目のテスト結果があり、（平均、不偏分散）は1回目、2回目、1回目と2回目の差の順で（40, 150),(62,170),(22,120)だとします。
t＝62-40/√120/5=4.49073…
であっているのでしょうか。
ちなみに、両側検定だとt＝4.49073>0.7407
片側検定だとt＝4.49073>2.1318
でともに有意差ありとなりました。
t＝…の計算式が不安なのであっているか教えて頂きたいです。

質問者からの補足コメント

• すみません。補足です。
  1回目と2回目で成績に差があるかt検定で調べたいです。

    補足日時：2020/07/18 10:14

• すみません。補足です。
  1回目と2回目で成績に差があるかt検定で調べたいです。

    補足日時：2020/07/18 10:15

• 両側検定の場合は、0.7407ではなく2.7764でしたね。

    補足日時：2020/07/18 10:47

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/07/18 12:20

No.1 です。

「補足」を見ました。

＞1回目と2回目で成績に差があるかt検定で調べたいです。

そういうことですね。
ただし、それもちょっと不正確で、問題で問われているのはおそらく「１回目と２回目で『平均点』に差があるか」ということだと思います。

１回目も２回目も、「同じ５人」なので、２つのデータ群は「同じ特性を持ったもの」と考えられるので「対応のある２群の差の検定」ということになります。
その場合には、「１回目、２回目の差の分布」を使って検定するのが一番簡単でしょう。

「差があるか」を検定するので、「差がない」ことを「帰無仮説」とします。そうすれば「差」は「平均 0」に周りに分布している「はず」です。
そして、「差」の分散は、標本からの「不偏分散」に相当すると「推定」します。（標本サイズが大きいときには「分散」そのものが、標本サイズが小さい（おおむね 30以下）ときには「不偏分散」が母集団の分散の推定値になる）

ということで、帰無仮説に従えば、「１回目、２回目の差」は「平均 0, 分散が 120」で分布する「はず」だと考えられます。実際に起こっている「差の平均：22」 がその分布でどの程度の確率で出現するかを求めて、それが「有意水準」より大きければ「まあまあ起こり得る」（これだと「帰無仮説」は棄却できない）、「有意水準」よりも小さければ「めったに起こらないことだ」として「あり得ない」と判定して棄却します。

実際に起こっていることは、「差の平均」が d (=22)、「差の分散」が v (= 120) なので、検定統計量
　t = (d - μ)/√(v/5)　　　　　　　①
を μ=0 として求めてみれば
　t = 22/√(120/5) = 22/√24 = 4.49073･･･ ≒ 4.49　　　②

t は「自由度 4 の t 分布」をするはずなので、その「両側検定で有意水準 5%」となる「上側確率 2.5%」の値を「t 分布表」から読み取ると
　2.776
です。
（質問の中に「有意水準がいくつか」が書かれていませんが補足に「両側検定の場合は、0.7407ではなく2.7764でしたね」と書かれているので「5%」ということですね？　「有意水準」は「どれだけの信頼度で検定するか」ということで、とても大事な数値ですよ。「有意水準5% = 信頼度95%、有意水準10% = 信頼度90% というこです）

これの意味するところは、「１回目、２回目の差は 0 である」という帰無仮説に従えば、①の統計量は95%の確率で（これが信頼度）
　-2.776 ≦ t ≦ 2.776　　　③
の範囲にある、ということです。
それ以外にある確率が5％（これが有意水準）ということ。「それ以外」が「上側」と「下側」にあるので、「上側」だけを見れば 2.5% です。

②の t値：4.49 は「2.776」よりも大きいので、上側の 2.5% の中に入っています。つまり③の「95％」に中には入っていないということです。
確率「95％」の中に入らない、つまり「確率5%」の極めて起こり得ないケースが現実の「１回目、２回目の差」として現れているわけです。
それは、最初に仮定した「１回目、２回目には差がない」という前提からは「起こり得ない」ということです。
それが実際には起こっているので、最初に仮定した「１回目、２回目には差がない」というのが間違っていたのだろう、ということで「帰無仮説」を否定して、
「信頼度95%（有意水準5%）で、１回目と２回目の平均点には差があるといえる」
という結論になります。（「差がある」のはあくまで「平均点」であることにも注意してください。それ以外のことは検定していません）

もちろん「100％そうだ」とはいえません。５％程度間違っている可能性がある上でそのように判定できる、ということです。その「間違うかもしれない確率」が「有意水準」です。

「検定」は、どのように教わっているのか分かりませんが、「お決まりの○○仮説を立てて、式と数値に当てはめてこうなる」ということを機械的にやるのではなく、それが「何をやっているのか」ということや「確率としてどうなるからそう判定できるのか」という「意味」をきちんと理解して実行することが大事です。

この回答へのお礼

ご丁寧に教えていただきわかりやすかったです。ありがとうございます！

お礼日時：2020/07/18 12:35

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/07/18 01:15

あの～、何を検定したいのですか？