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留数定理を用いた積分の計算なのですが、画像のところで手が止まりました。お詳しい方に解法をご教示いただきたいです!

「留数定理を用いた積分の計算なのですが、画」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • π/(√2a^3)になりました。それっぽいですよね

      補足日時:2020/07/18 22:38

A 回答 (4件)

∫[-∞,+∞] を留数定理を使って求める計算の定石として、


-r -(実軸)-> r -(原点中心,半径 r の円)-> -r
という積分路での閉路積分を考えます。
r がある程度大きい場合の積分値が留数定理から求まるので、
後は r → +∞ のとき円弧部分の積分が → 0 となることを示せば完了です。

r > R > a のとき |1/(x^4 + a^4)| ≦ 1/(|x|^4 + a^4) < 1/(r^4 + r^4) = 1/(2r^4)
より
|∫[円弧部分] 1/(x^4 + a^4) dx| ≦ ∫[円弧部分] |1/(x^4 + a^4)| dx < ∫[円弧部分]{ 1/(2r^4) }dx
= { 1/(2r^4) }・πr = π/(2r^3) → 0 (r→+∞)
なので、
∫[-∞,+∞] 1/(x^4 + a^4) dx + 0 = ∮[上記の閉路] 1/(x^4 + a^4) dx = (上半平面の留数和)
となって積分の値が求まります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。積分路の表記がよくわからないので教えて欲しいです。

お礼日時:2020/07/18 20:03

> 積分路の表記がよくわからないので教えて欲しいです。



え''〜、それはメンド。
何か適当な教科書で留数定理の応用例を参考にして
ノリで読んでほしいのだけれど...

複素数平面上で、-r から r まで実軸上を行く経路を R、
r から -r まで原点中心半径 r の上半円周上を半時計回りで行く経路を Γ とする。
r が十分大きいとき、閉曲線 R+Γ は 1/(x^4+a^4) の特異点のうち
x = a(1+i)/√2 と x = a(-1+i)/√2 を囲うので、留数定理より
∫[R+Γ]{ 1/(x^4+a^4) }dx = (2πi){ (x=a(1+i)/√2 での留数) + (x=a(-1+i)/√2 での留数) } ←[1]
となる。
No.3 の計算から Γ上での |1/(x^4+a^4)| の最大値 < 1/(2r^4) なので、
[1] の両辺で r→+∞ の極限を考えると
右辺 = ∫[R]{ 1/(x^4+a^4) }dx + ∫[Γ]{ 1/(x^4+a^4) }dx
= ∫[R]{ 1/(x^4+a^4) }dx + { 1/(2r^4) }∫[Γ]dx
→ ∫[-∞,+∞]{ 1/(x^4+a^4) }dx + 0
となって、
∫[-∞,+∞]{ 1/(x^4+a^4) }dx = (2πi){ (x=a(1+i)/√2 での留数) + (x=a(-1+i)/√2 での留数) }
であると判る。
x = a(±1+i)/√2 は、どちらも 1 位の極なので、留数を求めるのは簡単。
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この回答へのお礼

お手数おかけしました。ありがとうございます

お礼日時:2020/07/18 21:05

ええ、これで単純極の4つの値が具体的に決まったわけやから


いけるはずですよ。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。計算してみます。
答えが出せたらBAにさせていただきます。

お礼日時:2020/07/18 18:47

√i=(1+i)/√2、√-i=(1-i)/√2 とすればどうですか?

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。それで計算できそうですかね?よくわかってなくて…。

お礼日時:2020/07/18 18:24

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