S_nをn次対称群とし、sgn: S_n → {1, -1}を符号とする。A_n := { σ∈ S

S_nをn次対称群とし、sgn: S_n → {1, -1}を符号とする。A_n := { σ∈ S_n | sgn(σ) = 1}をn次交代群という。任意のσ,τ∈S_nに対して、
sgn(στ) = sgn(σ)sgn(τ) となることを示せ。
全然分からないのでどなたか教えてくださると助かります！

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/02 19:38

置換の「符号」とは、置換を互換の積で表したときの互換の個数 k によって (-1)^k として定義される。

この定義が well-defined であることを示すには、任意の置換が互換の積で表せることと、
置換の互換による表示は一意ではないが、積に現れる互換の個数の偶奇は置換ごとに一定であること
を証明しておく必要がある。 どちらの証明も、たいていの入門書に載っている。
σ が i 個、τ が j 個の互換の積で表示できたとすれば、
sgn(στ) = (-1)^(i+j) = (-1)^i (-1)^j = sgn(σ) sgn(τ) である。