わからないので教えてください。 問題（２） １〜８０までの整数のうち、３で割り切れない整数の和に最も

わからないので教えてください。
問題（２）

１〜８０までの整数のうち、３で割り切れない整数の和に最も近いものは、次のうちどれか。

１ ２１００
２ ２２００
３ ２３００
４ ２４００
５ ２５００

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/07 12:29

１〜８０までの整数の合計から、１〜８０までの３の倍数の合計を引けばよさそう。

1 + 2 + 3 + ・・・ + 80 = (1/2)80(80 + 1) = 3240　　　①

１〜８０までの３の倍数は 3～78 なので、3の倍数の合計は

　3 + 6 + 9 + ・・・ + 78
= 3(1 + 2 + 3 + 26)
= 3(1/2)26(26 + 1)
= 1053

よって、１〜８０までの整数のうち、３で割り切れない整数の和は

　3240 - 1053 = 2187

一番近いのは「2200」かな。

③の倍数周りの３つの数、たとえば「2, 3, 4」なら、合計が「9」で、「３で割り切る整数」が「3」なので、「３で割り切る整数」は「3つの合計」の 3/9 = 1/3。
最も大きいものだと「77, 78, 79」で、合計が「234」で、「３で割り切れる整数」が「78」なので、「３で割り切れる整数」は「3つの合計」の 78/234 = 1/3 で同じ。
これで、2～79 までは「３で割り切る整数の和」は「合計」の 1/3 ということがわかり、１〜８０までの整数のうち、３で割り切れる整数の和は、①から
　(3240 - 1 - 80) * (1/3) = 1053
で上と同じ結果になります。

「概数」で答えさせるのは、「３で割り切れない整数の和」は、おおよそ①の 2/3 だから
　3240 * (2/3) = 2160
で「約 2200」と答えればよいようにするためかな。