三乗根を外したい。

例えば（566+42sqrt(33)）^(1/3)
で、三乗根を外して、aとｂを実数として、a+b sqrt(33)　形にかける気がします。

（566+42sqrt(33)）^(1/3) ＝ a+b sqrt(33)

として両辺を3乗し、三次方程式を解かないと出ないと思いますが、もっと簡単な方法はないでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/08/30 19:25

このタイプの問題では、

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a=(566+42√33)^(1/3)
b=(566-42√33)^(1/3)

と置いて、

a³+b³=1132
ab=(566²-42²･33)^(1/3)=262144^(1/3)=64

とし、

a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)なので、a+b=tと置くと、
1132=t³-3･64t
∴t³-192t-1132=0　※

これによりt=a+bを求めて、ab=64と合わせ、2次方程式の解と係数の関係を用いてa（とb）の値を求める。
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という流れになるが、※がキレイに解けないので、あなたの方法しかないのではないか。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/08/30 20:49

とすると、

(a+b√33)³=(a³+99ab²)+(3a²b+33b³)√33

なので、

a³+99ab²=566
3a²b+33b³=42

となるけど、a,bはキレイな形にならないね（Mathematicaで求めてみたけど）。