群論の問題についてです。 Z^2={x | x,y∈Z}に加法+を y x_1 + x_2 = x_

群論の問題についてです。
Z^2={x | x,y∈Z}に加法+を
y
x_1 + x_2 = x_1+x_2
y_1 + y_2 = y_1+y_2
によって定めると、Z^2はこの演算により加法群になる。また、整数を成分とする2次正方行列Aに対して写像φ_A:Z^2→Z^2を
x → A x
y y
によって定める。
(1)φ_Aは加法群の間の準同型写像であることを示せ。
(2)A= 1 -1
-1 1
のときφ_Aは単射でないことを示せ。
(3)A= 2 -1
0 1
のときφ_Aは全射ではないことを示せ。
(4)以下を示せ。
detA=±1 → φ_Aが同型写像
解)(1)A= a b
c d
とするとax+by
cx+dy
=f(x)+f(y)
(2)Ax= x-y
-x+y
Ax=0とするとx=y
(3)Ax=2x-y
y
Ax=0とするとx=y=0
よってf(0)=0となり全射でない。

ここで(4)なのですが、φ_Aは単射でも全射でもないと言っているのになぜ同型写像になるのでしょうか？また(2)はどうしても単射になってしまいます。

よく理解できないので、数学に詳しいかたどうか詳しくお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/09/04 23:12

(2) でどうやって「どうしても単射に」なっている?

(4) はどこで「単射でも全射でもない」と言っている?

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/05 01:42

(2)でφ_Aが単射でないAと

(3)でφ_Aが全射でないAと
(4)でφ_Aが同型写像であるAは、
それぞれ異なるAなんだけど。
問題文を読んで、それが判らなかったの？