
すべての実数xに対してlog(x+√x^2+1)を考える。
という問題があったのですが、問題文をしっかり読まないで、真数条件とかを確かめてしまいました。まあそれは置いておくことにして、この問題においてxの範囲が明記されてない場合、真数条件ならびに(√内部)≧0というのを調べることになると思うのですが、√が入った不等式はどのように解けばよいのでしょうか?
この場合√内部が正は明らかですから真数条件からx+√x^2+1>0を示すことになります。そうすると第2項は正と分かっているので第1項についてのみ考え、結局x>0ということになるのでしょうか?仮にこの考え方があっていたとしても、他の全ての場合(√の入った不等式の解法)に通用するでしょうか?
例えば方程式の場合√だけの項を片側に移項して両辺二乗すれば√は消えて普通に解けます。(ところで二乗できるのは両辺が正だと言い切れる場合だけですよね?)不等式でもこのように二乗の考え方で解いたりするのでしょうか?
今更ですが、もしかすると√以前に不等式の解き方が理解できていないのかもしれません。こんなレベルですがアドバイスよろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
x+√(x^2+1) の場合ですが
√(x^2+1)>√x^2=|x|≧-x より
x+√(x^2+1)>0 は、すべてのxで成り立つことが分ります。
一般的には、こんな風に考えるとよいかと…。
【√(x^2+1)>-x の証明】
(ア)x≧0 のとき
左辺>0, 0≧右辺 より 左辺>右辺
(イ)x<0 のとき
左辺>0,右辺>0 より
(左辺)^2-(右辺)^2=x^2+1-x^2=1>0
よって、左辺>右辺
※「負になるとき」と「正になるとき」で場合分けをする。
すみません!理解力が悪くて分からないとこがありました。
√(x^2+1)>√x^2=|x|≧-x より
x+√(x^2+1)>0 は、すべてのxで成り立つことが分ります。
とありましたが、上の不等式からどうやってすべてのxにたどりつくのでしょうか?
No.4
- 回答日時:
真数条件を考えて、x+√(x^2+1)>0というのは良いと思います。
そのときに「第2項が正なので、結局x>0を示せば良い」というところが違って、xが負の場合でも、もしxの絶対値より正の数√(x^2+1)の絶対値のほうが大きければ、真数条件のx+√(x^2+1)>0が成立するのです。
単純にx>0という答えにならないことが分かってしまったわけですから、真数条件の左辺のxを移項して、 √(x^2+1)>-x という不等式について考えなければなりません。
ところが、ちょっと考えてみると、この不等式は常に、つまりどんなxを代入しても、成り立つことが分かります。例えば、x=-2としてみると、
√(4+1)>-(-2)=2=√4
ですよね。
つまり、√(x^2+1)とx=√(x^2)の絶対値同士を比べると、いつも√(x^2+1)の√の中身のほうが1だけ大きくなるわけです。
これを数式であらわしたの#1さんのはじめに書かれた部分なわけです。
こんな感じでどうでしょうか。
No.2
- 回答日時:
普通に
x+√(x^2+1)>0
を解いていいと思います.
今
y1=x
y2=√(x^2+1)
とすると,問題はy1+y2>0
です.
今,y1,y2のグラフを書いてみます.
y1=x
は,すぐに書けますね.
y2=√(x^2+1)
はx=0のときy2=1で漸近線がy=±xになる曲線です.
このグラフを見ると,y1+y2=0になる点があれば
その点x0は,x0<0ということが分かります.
もっとよくグラフを見ると,x<0でy2の漸近線が
y=-xなので,結局y1+y2は,つねに0より大になります.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
今、見られている記事はコレ!
-
弁護士が解説!あなたの声を行政に届ける「パブリックコメント」制度のすべて
社会に対する意見や不満、疑問。それを発信する場所は、SNSやブログ、そしてニュースサイトのコメント欄など多岐にわたる。教えて!gooでも「ヤフコメ民について」というタイトルのトピックがあり、この投稿の通り、...
-
弁護士が語る「合法と違法を分けるオンラインカジノのシンプルな線引き」
「お金を賭けたら違法です」ーーこう答えたのは富士見坂法律事務所の井上義之弁護士。オンラインカジノが違法となるかどうかの基準は、このように非常にシンプルである。しかし2025年にはいって、違法賭博事件が相次...
-
釣りと密漁の違いは?知らなかったでは済まされない?事前にできることは?
知らなかったでは済まされないのが法律の世界であるが、全てを知ってから何かをするには少々手間がかかるし、最悪始めることすらできずに終わってしまうこともあり得る。教えてgooでも「釣りと密漁の境目はどこです...
-
カスハラとクレームの違いは?カスハラの法的責任は?企業がとるべき対応は?
東京都が、客からの迷惑行為などを称した「カスタマーハラスメント」、いわゆる「カスハラ」の防止を目的とした条例を、全国で初めて成立させた。条例に罰則はなく、2025年4月1日から施行される。 この動きは自治体...
-
なぜ批判コメントをするの?その心理と向き合い方をカウンセラーにきいた!
今や生活に必要不可欠となったインターネット。手軽に情報を得られるだけでなく、ネットを介したコミュニケーションも一般的となった。それと同時に顕在化しているのが、他者に対する辛らつな意見だ。ネットニュース...
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
1/∞=0は、なぜ?
-
数学的帰納法
-
Xの二乗-X+1=0 という2次方程式...
-
x^n+1をx^2+x+1で割った余りを...
-
VBAでセルの右下をいちばん下ま...
-
記号(イコールの上に三角形)...
-
高2数学です α二乗+β二乗=α...
-
数学における 等価と同値って同...
-
説明変数と被説明変数とは何で...
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
a,b,cはa^2-3b^2=c^2を満たす整...
-
分数差分の要因分解の方法について
-
等式記号に似た三本線
-
1/7=1/m+1/nを満たすmとnの求め方
-
一次方程式の文章題教えてくだ...
-
二乗して虚数になる数
-
100>90だったら、90は含まれず...
-
複素数について
-
二項定理を利用する証明について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1/∞=0は、なぜ?
-
Xの二乗-X+1=0 という2次方程式...
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
記号(イコールの上に三角形)...
-
4n-1の形の自然数は、必ず4m-...
-
a>b,c>dのとき、不等式ac+bd>ad...
-
VBAでセルの右下をいちばん下ま...
-
高2数学です α二乗+β二乗=α...
-
質問です。 a+b+c=0のとき、...
-
どうしてa>0, b>0のとき、a=b⇔a...
-
条件の与えられた式の値
-
等式記号に似た三本線
-
x^n+1をx^2+x+1で割った余りを...
-
xについての恒等式となるように...
-
数IIの問題
-
プール代数の問題なんですけど ...
-
数学における 等価と同値って同...
-
組み合わせの公式
-
高2恒等式
おすすめ情報