電磁気学

ある地点のスカラー量V(x, y, z)が次式で与えられるとき、勾配(grad V)を求めよ。ただし、Q、εは定数であり、r = (x^2+y^2+z^2)^1/2である。また、x方向、y方向、z方向の単位ベクトルをそれぞれ、→ex, →ey,→ez とすると、r = x(→ex) + y(→ey) + z(→ez)である。

V(x, y, z) =Q/4πεr

という問題なのですがgradV=(-Qx/4πεr^3,-Qy/4πεr^3,-Qz/4πεr^3) とxについて微分,同様にy,zも微分したものが答えになるという解釈でいいでしょうか。間違っていたら訂正お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/09/29 00:24

＞xについて微分,同様にy,zも微分したものが答えになるという解釈でいいでしょうか。

正確にいうと「x について偏微分、同様に y, z についても偏微分」ということです。

grad(V) = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)

であり、それぞれ
　∂V/∂x = (∂V/∂r)(∂r/∂x)
　∂V/∂y = (∂V/∂r)(∂r/∂y)
　∂V/∂z = (∂V/∂r)(∂r/∂z)
ということです。

これは
　∂V/∂r = -Q/4πεr^2
であり、r = (x^2 + y^2 + z^2)^(1/2) から
　∂r/∂x = (1/2)(x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2) * 2x
　　　　= x/(x^2 + y^2 + z^2)^(1/2)
　　　　= x/r
　∂r/∂y = (1/2)(x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2) * 2y
　　　　= y/(x^2 + y^2 + z^2)^(1/2)
　　　　= y/r
　∂r/∂z = (1/2)(x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2) * 2z
　　　　= z/(x^2 + y^2 + z^2)^(1/2)
　　　　= z/r
なので、その組み合わせで答えになります。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/09/29 06:28

解釈？

gradの計算自体は定義通りに偏微分を実行するだけです。
grad自体は導関数の3次元拡張拡張です。

微小ベクトルds=(dx、dy、dz)だけx、y、zが変化した時の
Vの変化量dVは
dV=gradV・ds (・は内積)
=(∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)・(dx、dy、dz)
=(∂V/∂x)dx+(∂V/∂y)dy+(∂V/∂z)dz

つまり、お馴染みの全微分の式を3次元で内積を使って簡略に書くための記号
とも言えますが
dy=(dy/dx)・dx
の3次元拡張でもあります。勾配の名の由縁です。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/09/29 00:06

勾配だから x, y, z のそれぞれで偏微分すればいい.