次の初期値問題をピカールの逐次近似法で解いてください。 y'=-2xy,y(0)=1 よろしくお願い

次の初期値問題をピカールの逐次近似法で解いてください。
y'=-2xy,y(0)=1
よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/30 08:20

逐次近似法は、解の存在定理を証明するための道具で、

具体的な微分方程式を解くのにはあまり向かないんだがなあ...
今回は、No.2 が華麗に使っているようだけれど。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/29 23:56

dy/dx=-2xy y(0)=1

φ1(x)=1+∫[0, x] -2s dx=1 - x^2
φ2(x)=1+∫[0, x] -2s(1 - s^2) dx=1 - x^2 + (x^4)/2
φ3(x)=1+∫[0, x] -2s(1 - s^2 + (s^4)/2) dx
=1 - x^2 + (x^4)/2 - (x^6)/6)
=1 - x^2/(-1) + (1/2)(-x^2)^2 + (1/6)(-x^2)^3
=1 + (1/1!)(-x^2) + (1/2!)(x^2)^2 + (1/3!)(-x^2)^3
：
φn(x)=1 + (1/1!)(-x^2) + (1/2!)(-x^2)^2 + … + (1/n!)(-x^2)^n
=Σ[k=0, n](1/k!)(-x^2)^k

よって、
y(x)=lim[n→∞] Σ[k=0, n](1/k!)(-x^2)^k
=e^(-x^2)
=1/e^(x^2)

変数分離型だから、微分方程式を解けばすぐなんだけどねぇ。
ピカールの逐次近似法は手間がかかる。

No.1 回答者： loれおにve 回答日時： 2020/09/29 22:03

無理〜！！(´-ω-`)