複素関数f(z)=1/(z^4)+1に対して以下の問題を解いてください。 ⑵と⑶がわからないです。

複素関数f(z)=1/(z^4)+1に対して以下の問題を解いてください。
⑵と⑶がわからないです。

⑴f(z)の全ての極

e^π/4 e^3π/4 e^5π/4 e^7π/4
±(1+i)/√2 ！±(1-i)/√2

⑵f(z)の極z=αにおける留数Res(α)をαを用いた簡単な式で表してください。

⑶広義積分I=∫[0→∞]f(x)dxの値を求めてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/03 23:19

これはまた、よくありの計算練習で...

まず、(1)の正解から見て、
f(z) = 1/(z^4) + 1 は
f(z) = 1/(z^4 + 1) の間違いなんだろうと思われる。
そう考えることにすると、

(2)
各特異点は 1位の極なので、留数は
lim[z→α] (z - α)f(z) = lim[z→α] (z - α)/(z^4 + 1)
　　　　　　　　　= 1/{ lim[z→α] (z^4 + 1)/(z - α) }
　　　　　　　　　= 1/{ lim[z→α] ((z^4 + 1) - (α^4 + 1))/(z - α) }
　　　　　　　　　= 1/{ (z^4 + 1)’ when z = α }
　　　　　　　　　= 1/{ 4α^3 }
　　　　　　　　　= α/{ 4α^4 }
　　　　　　　　　= α/4.

(3)
実軸上の点 r から -r まで、原点中心半径 r の円周上を行く経路を Γ と置く。
留数定理より、
∮{[-r,r]+Γ} f(z)dz = { (1+i)/√2 }/4 + { (1-i)/√2 }/4 = 1/(2√2).
一方、
∮{[-r,r]+Γ} f(z)dz = ∫[-r,r] f(z)dz + ∫{Γ} f(z)dz,　←[3]
∫{[-r,r]} f(z)dz = ∫[-r,0] f(z)dz + ∫{[0,r]} f(z)dz
　　　　　　= ∫[0,r] f(z)dz + ∫[0,r] f(z)dz
　　　　　　= 2∫[0,r] f(z)dz.

Γ 上で |f(z)| = 1/|z^4 + 1| ≦ 1/(|z|^4 + 1) = 1/(r^4 + 1) より
0 ≦ |∫{Γ} f(z)dz| ≦ ∫{Γ} |f(z)|dz ≦ ∫{Γ} {1/(r^4 + 1)}dz = (πr)/(r^4+1).
この不等式で r→0 の極限をとると、ハサミウチの定理より
lim[r→0] |∫{Γ} f(z)dz| = 0.

これを使って[3]式で r→0 の極限をとると、
1/(2√2) = 2∫[0,∞] f(z)dz + 0.
よって、
∫[0,∞] f(z)dz = 1/(4√2).

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2020/10/03 12:23

わからないって、君、教科書読んでないだろ？

そりゃ無理だよ。
留数定理とか、その定積分への応用とか
そのへんを読み直しなさい。