数学Iについて質問です。 A工場の製品には2%、B工場の製品には3%の不良品が含まれている。A工場の

数学Iについて質問です。
A工場の製品には2%、B工場の製品には3%の不良品が含まれている。A工場の製品から20個
B工場の製品から50個を無作為に抜き出し、これをよく混ぜた後に、1個の製品を取り出す時
次の確率を求めよ。

(1)
取り出された製品が不良品であった時、それがA工場のものである確率。

この問題で下の画像のように、4/700の所までは分かるのですがその先の計算が一体何を言ってるのかが分かりません。
数学Iに詳しい方いましたら、回答お願いします。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/10/06 15:09

うーん、これ確率じゃなくて期待値を割って不良品にAの含まれる割合の期待値を

算出している気がするんだけど、
うろ覚えなんですが(確率統計はあまり使わないので)、一般に

商の期待値≠期待値の商

じゃなかっったっけ？

Aの不良個数a、Bの不良個数bの期待値が求まるのに異存は無いけど
a/(a+b) の期待値は求まるのかな～

20個、50個の確率密度分布を与えて計算しなくて大丈夫なんだろうか？

考え違いがあればご指摘願います。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/10/04 12:44

これは数学１Aの内容ではありません

（理系数学：数3くらいの内容です）
で、画像は「条件付き確率」といいます
ちなみに　次のようにとらえると良い
Pe(A)
=不良品を取ったということがすでに起きた場合、それがA由来のものである確率
=A由来の不良品の数/不良品の総数
=n(A∩E)/n(E)
＝n(A∩E)x{1/n(E)}
＝n(A∩E)x{1/n(E)}x{n(U)/n(U)}
={n(A∩E)/n(U)}x{n(U)/n(E)}
＝P(A∩E)x{1/P(E)}
＝P(A∩E)/P(E)
ただし、Uは製品の総数

数1Aしか履修していないなら次のように解きましょう
不良品の総数をまず調べる・・・20x0.02=0.4個
50x0.03=1.5個
ゆえに題意の通りにA、Bから70個を抜き出して混ぜると、その中の不良品の個数は
1.9個
小数では考えづらいでしょうから　取り出す数を10倍にして
Aから200,Bから５００取り出すことにすると　700この中には19個の不良品があることになる
この19このうち　0.4x10=4はA由来のもの
1.5x10=15はB由来のもの
もし　この中から取り出した1こが不良品であった場合それがA由来のものである確率は　
A由来の不良品/不良品全数=4/19
確率なので　A,Bから合計で70個を取り出す場合でも「取り出した1こが不良品であった場合それがA由来のものである確率」は当然変わらないので
答えは4/19

No.2 回答者： あぁあつ 回答日時： 2020/10/04 12:32

分からないと仰っている部分は、教科書に公式の意味が載っているはずなのでみてみましょう！

ちなみにこの場合、P（E）はAとBに不良品が含まれている確率を足したものです。
（4/700+15/700）

今回の場合の公式の意味は（A工場の不良品の確率）/（全体の不良品の確率）=（不良品がA工場のものである確率）です。

この問題であれば、公式が難しいのなら（A工場から出た不良品の数）/（不良品の総数）で解くことも出来ます。

No.1 回答者： cametan_42 回答日時： 2020/10/04 12:29

あー。

うん、これって数Iと言うより・・・逆確率の問題ですね。
スパムフィルタで有名な「ベイズの定理」の良くある例です。

ちょっと書き方変えてみましょうか。
「条件付き確率」って言うんですが、

A工場で生産された、って条件で不良品Eが出る確率 -> P(E|A)
B工場で生産された、って条件で不良品Eが出る確率 -> P(E|B)

と表現します。

ところが、不良品が出た、と言う状態で「原因はA工場なのかB工場なのか」と逆に考える事を「原因の確率」または「逆確率」と呼びます。
そこで、逆確率を

不良品である、と言う状態で、それがA工場で生産された確率 -> P(A|E)

と表現します。
そしてベイズの定理は

P(A|E) = P(E|A)P(A)/(P(E|A)P(A)+P(E|B)P(B))

と書きます。

分子のP(E|A)P(A)はそのままP(A∩E)の事です。
そして分母のP(E|A)P(A)+P(E|B)P(B)もそのままP(E)の事です(この分母を専門的にはエビデンス、と呼びます)。

さて、

> この問題で下の画像のように、4/700の所までは分かるのですがその先の計算が一体何を言ってるのかが分かりません。

と言うのは平たく言うと、このエビデンスの計算が分からない、って事ですよね。
2つ考え方を示すので、どっちでもいいので好きな考え方に従って下さい。

1) ベイスの定理の分母に従う。

ベイズの定理の分母は

P(E|A)P(A)+P(E|B)P(B)

第一項は分子と同じなんで、4/700。従って

4/700 + P(E|B)P(B)

第二項P(E|B)P(B)は結局P(B∩E)なんで

P(B∩E) = (50/70) * (3/100) = 3/140

∴ P(E|A)P(A)+P(E|B)P(B) = 4/700 + 3/140 = 19/700

2) 直接 P(E)を計算する

A工場の製品には2%の不良品が含まれている-> 20個×(2/100)->2/5個が不良品

B工場の製品には3%の不良品が含まれている-> 50個×(3/100)->3/2個が不良品

トータル70個中(2/5+3/2)個が不良品 -> (2/5+3/2)/70 -> 19/700が不良品率P(E)