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A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
まず定数aが3だと仮定しましょう
このとき y=-x²+12x-3⇔y=-(x-6)²+33・…①
ですからそのグラフの頂点は(6,33)で 定義域の外(右側)ということになりますよね
①のグラフは上に凸なので、定義域の中のグラフは頂点により近い
x=2の位置でもっとも高くなり
x=2で最大値となることがわかります
次に、aが2だと仮定します
このとき y=-x²+8x-2⇔y=-(x-4)²+14
ですからそのグラフの頂点は(4,14)で 定義域の外(右側)
グラフは上に凸なので、a=2のときも頂点により近い
x=2で最大値となることがわかります
今度は aが1/2だと仮定します
このとき y=-x²+2x-(1/2)⇔y=-(x-1)²+(1/2)
ですからそのグラフの頂点は(1,1/2)で 定義域の中にあるということになりますよね
下に凸のグラフでは 頂点が最も高くなるので
a=1/2の場合は
頂点のx=1で最大値y=1/2となることがわかります
もう一つおまけに
aが-1だと仮定します
このとき y=-x²-4x+1⇔y=-(x+2)²+5
ですからそのグラフの頂点は(-2,5)で 定義域の外(左側)ということになりますよね
ゆえに定義域の中ではグラフは頂点により近い
x=0の位置でもっとも高くなり
x=0で最大値となることがわかります
このように定数aが実際にどんな数字であるか決めると頂点の位置が変わるのです(今回はaが小さくなるほどその位置は左へ移ります)
aの値の違いに連動して頂点の位置が変わり、ゆえに最大値をとる場所が変わってくるのです
そこで、場合分けです
冒頭2例のように、x=2で最大となるケース(定義域の右に頂点)…②
その次の例のように、頂点で最大となるケース(定義域の中に頂点)…③
最後の例のようにx=0で最大となるケース(頂点は定義域の左側)…④
に分けるのです
-x²+4ax-a=-(x-2a)²+4a²-aですから
もじaに数字を当てはめないでそのままにした場合は
2次関数の式は
y=-(x-2a)²+4a²-aとなり
頂点のx座標はx=2aであることがわかります
②であるケースとは、頂点のx座標:2aが2よりも大きいケースです
これを文字式にすれば 2<2a⇔1<aですから
1<aのときはx=2で最大となり
x=2代入で y=-2²+4a・2-a=7a-4 これが最大値となります
➂であるケースとは、頂点のx座標:2aが0から2の間にあるケースです
これを文字式にすれば 0≦2a≦2⇔0≦a≦1ですから
このときは頂点⇔x=2aで最大となり
x=2a代入で y=-(2a-2a)²+4a²-a=4a²-a これが最大値となります
(むろん計算なしに 頂点のy座標:4a²-aが最大値と判断しても良いです)
④であるケースとは、頂点のx座標:2aが0よりも小さいケースです
これを文字式にすれば 2a<0⇔a<0ですから
a<0のときはx=0で最大となり
x=0代入で y=-0²+4a・0-a=-a これが最大値となります
No.3
- 回答日時:
y=-x²+4ax-a は グラフに書くと、
上に凸な 放物線になる事は 分かりますね。
頂点座標を求めるために 平方完成します。
-x²+4ax-a=-(x²-4ax)-a=-(x-2a)²+4a²-a 。
で、 頂点座標は (2a, 4a²-a) となります。
つまり x=2a のときに 最大値 4a²-a となります。
0≦x≦2 ですから 0≦2a≦2 で 0≦a≦1 となります。
x=0 のときは 元のから y=-a となります。
x=2a のときは 頂点座標の 4a²-a となり、
x=2 のときは 元の式から y=7a-4 となります。
No.2
- 回答日時:
型どおりの問題ですね。
上凸な二次関数の最大値は、二次関数の軸が
・定義域より小さい範囲にある
・定義域に含まれる
・定義域より大きい範囲にある
の3つに場合分けして処理します。
y = - x^2 + 4ax - a = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a については、
・ 2a < 0
・ 0 ≦ 2a ≦ 2
・ 2 < 2a
に場合分けすればよいです。
y = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a のグラフを考えて
2a < 0 のとき、 x = 0 で最大値,
0 ≦ 2a ≦ 2 のとき x = 2a で最大値,
2 < 2a のとき x = 2 で最大値
であることを見つければ、
あとは式を整理して質問文中の答えのようになります。
No.1
- 回答日時:
y=−x^2+4ax−a (0≦x≦2)の最大値
y=−x^2+4ax−a ← 強引に平方完成させる
=-(x^2-2(2a)x+4a^2) +4a^2-a
=-(x-2a)^2 +4a^2-a 頂点(2a,4a^2-a)
0≦a≦1の時 → 即ち、0≦x≦2 この範囲に軸が存在する時 最大値=4a^2-a
ここまでは理解しやすいです。
a<0の時 x=0と考えyにx=0を代入し 最大値 -a
1<aの時 x=2と考えyにx=2を代入し 最大値 7a-4
としている。 a<0 と 1<a の時は、平方完成した時、0≦x≦2
という最初に提示されている xの範囲外となるため、そのまま x=0とx=2をyに代入して最大値を求めています。
ちょっと問題自体が微妙な出来である感じがします、明快さに欠けているので、腑に落ちないもやもやの部分が残りますね。
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ちょっと最近時間があんまりなくいので、時間がある時にじっくり見させていただきます!!m(_ _)m