広義積分です。解答を教えてください。 ∫[∞ -∞]xe^(-x) dx

広義積分です。解答を教えてください。

∫[∞ -∞]xe^(-x) dx

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/02 12:20

∫[a,b]xe^(-x) dx

=-∫[a b]x{e^(-x)}' dx
=-{[xe^(-x)]-∫(x)'e^(-x)dx }・・・積分区間省略
=ae^(-a)-be^(-b)-[e^(-x)]
=ae^(-a)-be^(-b)+e^(-a)-e^(-b)
=e^(-a)(a+1)-e^(-b)(b+1)
={(a+1)/e^a}-{(b+1)/e^b}
a→∞　
b→-∞　として計算すればよい
ここで　tが大きくなると
A^t>>t^k　（指数関数＞＞正関数) だから
Lim(t→∞)t^k/A^t=0が知られている
これを用いれば
Lim(a→∞){(a+1)/e^a}
=Lim(a→∞){(a¹/e^a)+(1/e^a)}＝0+0=0

b=-uとおくと
b→-∞のとき　u→∞で
{(b+1)/e^b}=(1-u)e^u→-∞

ゆえに
∫[∞ -∞]xe^(-x) dx=-∞

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/11/02 11:18

(xe^(-x))'=e^(-x)-xe^(-x)から

xe^(-x)＝e^(-x)-(xe^(-x))'
xe^(-x)dx＝e^(-x)dx-d(xe^(-x))両辺積分して
∫[∞ -∞]xe^(-x) dx＝∫[∞ -∞]e^(-x)dxー∫[∞ -∞]ｄ(xe^(-x))
=-[∞ -∞]e^(-x)-[∞ -∞]xe^(-x)
=-(e^-∞-e^∞)-∞*e^(-∞)-∞*e^(∞)
=e^∞-∞*e^∞
=e^∞(1-∞)
=-∞*∞=-∞・・・発散