以下のの問題について教えて頂きたいです。 ①離散型確率変数Xについてvar（X +c）＝Var（X）

以下のの問題について教えて頂きたいです。

①離散型確率変数Xについてvar（X +c）＝Var（X）が成り立つことを証明せよ。Cは定数とする。

②離散型確率変数Xについて　var(X)=E[X^2]-(E[X])^2が成り立つことを証明せよ

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/04 18:32

どちらも当たり前のことなんですけどね。

① X = {x1, x2, ・・・, xn}
平均を μ とすれば

　Var(X) = (1/n)Σ[i=1～n](xi - μ)^2　　　(a)

です。

このとき
　X + c = {x1 + c, x2 + c, ・・・, xn + c}
ですから、平均は μ + c になります。
（これが分からないなら自分でちゃんと平均を計算してみてね！）
従って、
　Var(X + c) = (1/n)Σ[i=1～n]{(xi + c) - (μ + c)}^2
　　　　　　= (1/n)Σ[i=1～n](xi - μ)^2
　　　　　　= Var(X)

② 上の(a)式を展開すれば

　Var(X) = (1/n)Σ[i=1～n](xi - μ)^2
= (1/n)Σ[i=1～n](xi^2 - 2μxi + μ^2)
= (1/n)Σ[i=1～n](xi^2) - (1/n)Σ[i=1～n](2μxi) + (1/n)Σ[i=1～n](μ^2)
= (1/n)Σ[i=1～n](xi^2) - 2μ(1/n)Σ[i=1～n](xi) + (1/n)nμ^2

ここで
　(1/n)Σ[i=1～n](xi^2) = E(X^2)
　(1/n)Σ[i=1～n](xi) = μ = E(X)
なので

= E(X^2) - 2μ^2 + μ^2
= E(X^2) - μ^2
= E(X^2) - {E(X)}^2