ある企業が資本(k)と労働(L)を用いて生産を行っており、 その生産関数が Y=√K√L で示されて

ある企業が資本(k)と労働(L)を用いて生産を行っており、
その生産関数が
Y=√K√L
で示されている。
資本と労働の単価はそれぞれr=2,w=32とする。
この企業が12の産出を達成しようとする場合の費用を最小化したいと考えている。
この時、最適な労働投入量と資本投入量はいくらか？

この問題わかる人教えてください！

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/11/18 16:57

min C=2K+32L

s.t.
Y=√KL
という最小化問題を解けばよい。Yを任意の値に固定して、
√KL=Y　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(*)
を満たす（L,K)の組をL-K平面に描いたグラフをそのYの水準のもとで描いた等量曲線と呼び、Cを一定としたとき、
C=２K+32L　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(**)
を満たす（L,K)の組をL-K平面に描いた曲線(直線）を等費用曲線という。等量曲線の傾き(絶対値）をMRTSというが値は
MRTS=(∂Y/∂L)/(∂Y/∂K)
で与えられるので、生産関数(*)のもとでは
MRTS=K/L
となる（確かめよ）。一方、等費用曲線(**)は傾きが-16、縦軸切片がC/2の直線だ（確かめよ）。与えられた生産水準Yを最小費用で生産するLとKの組は、そのY水準に対応する等量曲線と（Cの値を変化させることによって）等費用曲線とが互いに接するところで得られる。よって、
MRTS=16
K/L=16
よって
K=16L　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(***)
となる。これを（＊）に代入し
Y=４L
L=Y/4
これと(***)より
K=4Y
となる。よって、
(L,K)=(Y/4,4Y)
の組がYを与えられたときの最適な（つまりYを最小費用で達成する）労働投入と資本投入の組である。

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/11/22 06:02

理解できたのだろうか？まとめとして、予算制約のもとでの効用最大化問題と同じ解き方をすることを理解すること。

・効用最大化問題では、予算線と無差別曲線が互いに接する点を求める。
つまり、MRS=Px/Pyを満たす消費の組を選択する。

・費用最小化問題では、等費用曲線と等量曲線が互いに接する点を求める。
つまり、MRTS=w/rを満たす投入の組を選択する。

なお、質問の問題ではY=12のときのLとKを求めよとあるので、No1の回答（L,K)=(Y/4,4Y)において、Y=12とおく。よって、この場合の最適なLとKの組は
（L,K)=(3,48)
となることはいうまでもない。

回答してからしばらくたつが、理解できたのか、理解できていないのか、うんともすんとも反応がないのでわからない。どうも、回答し甲斐のない質問者が増えた。