「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

時定数(τ=CR)について物理的意味とその物理量について調べているのですが、参考書等これといってわかりやすい説明がありません。どうが上記のことについて詳しく説明してもらえないでしょうか?

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A 回答 (4件)

1次応答のお話ですね。


物理の世界では「1次応答」と呼ばれる系をしばしば扱います。その系の応答の時間的尺度を表す数字が「時定数」です。物理量としては時間の次元を持ち、時間と同様に秒や分などを単位に表現できます。

直感的には「水槽から出て行く水」のアナロジーで考えると分かりやすいと思います。いま水槽があって下部に蛇口が付いているとします。蛇口をひねると水は流れ出ますが、水が流れ切ってしまうまでにどれくらい時間がかかるでしょうか。
明らかに水槽が大きいほど、そして蛇口が小さいほど時間がかかります。逆に水槽が大きくても蛇口も大きければ水は短時間で出て行きますし、蛇口が小さくても水槽が小さければこれまたすぐに水槽はからっぽになります。
すなわち水がからっぽになるまでに要する時間の目安として
 水槽の大きさ×蛇口の小ささ
という数字が必然的に出てきます。ご質問の電気回路の場合は
 コンデンサの容量→水槽の大きさ
 抵抗→蛇口の小ささ
に相当するわけで、CとRの積がその系の応答の時間的な目安を与えることはなんとなくお分かり頂けると思います。

数式を使いながらもう少し厳密に考えてみましょう。以下のようにコンデンサCと抵抗Rとからなる回路で入力電圧と出力電圧の関係を調べます。
 + C  -
○─┨┠─┬──●
↑    <  ↑
入    <R  出
力    <  力
○────┴──●

入力電圧をV_i、出力電圧をV_oとします。またキャパシタCに蓄積されている電荷をQとします。
するとまず
V_i = (Q/C) + V_o   (1)
の関係があります。
また電荷Qの時間的変化が電流ですから、抵抗Rの両端の電位差を考えて
(dQ/dt)・R = V_o   (2)
も成立します。
(1)(2)を組み合わせると
V_i = (Q/C) + (dQ/dt)・R   (3)
の微分方程式を得ます。

最も簡単な初期条件として、時刻t<0でV_i = 0、時刻t≧0でV_i = V(定数)となるステップ応答を考えます。コンデンサCは最初は帯電していないとします。
この場合(3)の微分方程式は容易に解かれて
V_o = A exp (-t/CR)   (4)
を得ます。exp(x)はご存じかと思いますがe^xのこと、Aは定数です。解き方が必要なら最後に付けておきましたので参考にして下さい。
Cは最初は電荷を蓄積していないのですから、時刻t=0において
V_i = V = V_o   (5)
という初期条件が課され、定数Aは実はVに等しいことが分かります。これより結局、
V_o = V exp (-t/CR)   (6)
となります。
時間tの分母にCRが入っているわけで、それが時間的尺度となることはお分かり頂けると思います。物理量として時間の次元を持つことも自明でしょう。CとRの積が時間の次元を持ってしまうのは確かに不思議ではありますが。
(6)をグラフにすると下記の通りです。時刻t=CRで、V_oはV/e ≒0.368....Vになります。

V_o

* ←初期値 V        
│*
│ *
│   *         最後は0に漸近する
│      *       ↓
└───┼──────*───*───*───*─→t
t=0  t=CR
   (初期値の1/e≒0.368...倍になったタイミング)


【(1)(2)の解き方】
(1)の両辺を時間tで微分する。V_iは一定(定数V)としたので
0 = (1/C)(dQ/dt) + (dV_o/dt)
(2)を代入して
0 = (1/CR) V_o + (dV_o/dt)
-(1/CR) V_o = (dV_o/dt)
- dt = dV_o (CR/V_o)
t = -CR ln|V_o| + A
ここにlnは自然対数、Aは定数である。
この式は新たな定数A'を用いて
V_o = A' exp (-t/CR)
と表せる。
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この回答へのお礼

かなり詳しく書いていただいて感謝します!時定数について勉強したいと思います。

お礼日時:2005/02/05 13:41

時定数の出し方については#1~#3の方々が詳しく説明されて


いるので十分だと思いますが、時定数の物理的意味について
少しコメントさせていただきます。

時定数というのは#2さんもおっしゃっているとおり、電気回路系に
特有の概念ではなく、指数的に減衰する量一般に対して、
それがどれぐらいの速さで減衰するのかを表す量です。

指数的に減衰する量xは一般に
x = x0 exp(-t/τ) (x0:初期値、t:時間、τ:時定数)
と書けますが、この式が意味しているのは、
「時間がτだけ進むと、xの値は1/eに減少する」
ということです。
つまり時定数の物理的な意味とは、
「xの値が1/eに減少するのに要する時間の長さ」
です。

t=0から考えると、時間がτだけ進むと、xはx0からx0/eまで
減少するわけです。
e=2.71818...ですから、時間がτだけ進むとxは元の値の
半分以下になってしまうわけですね。
放射性元素の量が、崩壊によって元の量の半分にまで減る
までの時間を、その放射性元素の半減期といいますが、
時定数も半減期も同じ概念です。
時定数は1/eまで減るまでの時間の長さ、半減期は1/2まで
減るまでの時間の長さのことです。
どちらも、問題にしている量がどれだけ速く減るかを
表しています。
(時定数が大きいほど減少は遅く、小さいほど速いという
ことになります。)
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この回答へのお礼

なるほど!時定数って考えてみると深いですね。どうもありがとうございました。

お礼日時:2005/02/06 17:14


>時定数(τ=CR)について物理的意味とその物理量

 まず、電気抵抗Rが、どのように定義されているか(古典物理の範囲だけど)説明した、下記の過去ログを参考にしてください。NO2です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=933863
エネルギE、電荷Qが、時間tと共に移動する系に於いて、
 電流Iの定義=Q/t
 エネルギ流=E/t
 電圧Vの定義=(エネルギ流)/(電流) = E/Q
 抵抗Rの定義=(エネルギ流)/(電流^2) = (E・t)/Q^2

静電容量Cは、Q=CVと導入されるので
 C=Q/V =Q^2/E

ゆえに、CとRの積の次元は、
 CR={Q^2/E}・{(E・t)/Q^2} = t
すなわち、時間の次元です。

アンペア、ボルト、オーム、ファラッド、ヘンリーなどは、エネルギ、電荷、時間から、組み立てられた単位なんです。物理としての基本をおさえましょう。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=933863
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。過去ログ、参考URL等で勉強させていただきます。

お礼日時:2005/02/06 17:15

量はCRと書いてありますから、そのままです。


時定数ですから単位はsecです。

Rが抵抗でCが容量ですから、電気的にはRを通
してCを充電・放電する以外に意味を持ちません。

仮にCの電荷ゼロにRを通して充電するとして、
Cが一定ならRが大きい方が充電により長い時間
を要するのは直感的にわかります(Rが固定なら
Cが大きい方が時間がかかる)。

なので、時定数を求めることは、その程度を求
めることになります。

参考URL:http://nkiso.u-tokai.ac.jp/phys/exp/titles/timec …
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この回答へのお礼

すばやい回答ありがとうございます!参考URLまで紹介していただいて助かりました。

お礼日時:2005/02/05 13:32

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計量士の資格を勉強していると自動制御の問題が出てきました。

単位ステップ応答は1-exp(t/T)である。
一次遅れ系の時定数Tの求め方として2つの方法がある。
一つは、1-exp(-t/T)が63.2%になったとき。
もう一つは、過渡応答曲線の原点での接線が定常値に交わるまでの原点からの時間を求める。
とあります。
ここで質問なのですが、この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか?

また単位インパルス応答はexp(-t/T)です。
これが36.8%になったとき時定数Tを求められることは知っているのですが、
同様に、過渡応答曲線の原点での接線が定常値に交わるまでの
原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか?

Aベストアンサー

>この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか?
そうです。
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と定常値の振幅1に対して0.6321は63.21%にあたります。

>原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか?
求められます。

過渡応答曲線v(t)=exp(-t/T)に対して、t=0における接線は
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Q時定数の求め方について

始めまして、初めて質問します。

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Qカットオフ周波数とは何ですか?

ウィキペディアに以下のように書いてました。

遮断周波数(しゃだんしゅうはすう)またはカットオフ周波数(英: Cutoff frequency)とは、物理学や電気工学におけるシステム応答の限界であり、それを超えると入力されたエネルギーは減衰したり反射したりする。典型例として次のような定義がある。
電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。


ですがよくわかりません。
わかりやすく言うとどういったことなのですか?

Aベストアンサー

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です。



電子回路の遮断周波数の場合
-3dB はエネルギー量にして1/2である事を意味します。
つまり、-3dBなるカットオフ周波数とは

「エネルギーの半分以上が通過するといえる」

「エネルギーの半分以上が遮断されるといえる」
の境目です。

>カットオフ周波数は影響がないと考える周波数のことでよろしいでしょうか?
いいえ
例えば高い周波数を通すフィルタがあるとして、カットオフ周波数が1000Hzの場合
1010Hzだと51%通過
1000Hzだと50%通過
990Hzだと49%通過
というようなものをイメージすると解り易いかも。

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です...続きを読む

Q時定数τの求め方

直列のRC回路があり、実験値でτを求めたのですが、
理論値でも出すよう、指示が出ました。

色々調べたのですが、τ=RCに出る段階がよく分かりません。

V(抵抗)+V(コンデンサー)=Vo を使って求めていくのはいいのですが、どうやったら、すっきりとτ=RCがでるのですか?
実験器具は下図のようになってます。
発信機からは方形波が出ています。
_______________
| |
| |
発信機 =
| |
| |
| >
| <
| >
_______________|

Aベストアンサー

質問者さんの仰るように
 V_R + V_C = V_0     …(1)
を使います.

オームの法則 V = IR,電気容量の定義式 Q = CV より
(1) 式は
 IR + Q/C = V_0
となるので,dQ/dt = I に注意して両辺時間で微分すると
 (dI/dt)R + I/C = 0
という微分方程式を得ます.

これを解くことで
 I = I_0 * exp{-t/(RC)}
が出てきます.

Q遮断周波数のゲインがなぜ-3dBとなるのか?

私が知っている遮断周波数の知識は・・・
遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
<遮断周波数の定義>
出力電力が入力電力の1/2となる周波数を指す。
電力は電圧の2乗に比例するので
Vout / Vin = 1 / √2
となるので
ゲインG=20log( 1 / √2 )=-3dB
となる。

ここで、なぜ出力電力が入力電力の1/2(Vout / Vin = 1 / √2)
となるのでしょうか?
定義として見るにしてもなぜこう定義するのか
ご存じの方いらっしゃいましたら教えて下さい。

Aベストアンサー

>ここで、なぜ出力電力が入力電力の1/2(Vout / Vin = 1 / √2)
>となるのでしょうか?
>定義として見るにしてもなぜこう定義するのか

端的に言えば、
"通過するエネルギー"<"遮断されるエネルギー"
"通過するエネルギー">"遮断されるエネルギー"
が、変わる境目だからです。

>遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
これは、少々誤解を招く表現です。
減衰自体は"遮断周波数"に至る前から始まります。(-3dBに至る前に、-2dBとか、-1dBになる周波数があります)

Q遮断周波数と時定数について質問です。

低域遮断フィルターの特性を遮断周波数ではなく時定数で表わすのはどうしてでしょうか。

遮断周波数=1/2πτ
より、遮断周波数と時定数との関係はなんとなくわかるんですが。

医用機器を使用することと何か関係はありますか?

Aベストアンサー

RCローパスフィルタのステップ応答は
y(t)=a{1-e^(t/τ)}と書けます。
ここで,aはステップの振幅、τは時定数で
τ=RC
で与えられます。
一方、RCローパスフィルタの伝達関数G(jω)は
G(jω)={1/(jωC)/{R+1/(jωC}=1/(1+jωRC)
|G(jω)|=1/√{1+(ωRC)^2}
で|G(jω|=1/√2の時のω=2πfのf=fcをカットオフ周波数といいます。
この時
20log|G(jω)|≒-3[dB]
となります。ωRC=ωcRC=1、ωc=2πfcからカットオフ周波数fcは
fc=1/(2πRC)
となります。先の時定数τを使えば
fc=1/(2πτ)
という関係式が出てきます。

生体系の信号や医用機器で扱う比較的低い周波数成分しか含まない生体信号は、微小で、周囲の高周波ノイズの中に埋もれてしまいます。パルス性の高周波ノイズや高周波電磁波ノイズ(生体系の電気現象に比べて大きい)を除去するために高周波ノイズ周期に比べてそれよる長い時定数で生体系の信号の変化に比べ小さな時定数を、医療計測計の記録計やディスプレイを見ながら設定する法が便利だからでしょう。カットオフ周波数より可視化されたディスプレイ上では、このパルス性ノイズを除去するには、画面上でどの位の時定数にしたら良いかがビジブル(視覚的)に分かり易いということでしょう。

RCローパスフィルタのステップ応答は
y(t)=a{1-e^(t/τ)}と書けます。
ここで,aはステップの振幅、τは時定数で
τ=RC
で与えられます。
一方、RCローパスフィルタの伝達関数G(jω)は
G(jω)={1/(jωC)/{R+1/(jωC}=1/(1+jωRC)
|G(jω)|=1/√{1+(ωRC)^2}
で|G(jω|=1/√2の時のω=2πfのf=fcをカットオフ周波数といいます。
この時
20log|G(jω)|≒-3[dB]
となります。ωRC=ωcRC=1、ωc=2πfcからカットオフ周波数fcは
fc=1/(2πRC)
となります。先の時定数τを使えば
fc=1/(2πτ)
という関係式が出てきます。

生...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む


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