バネ振り子のバネの長さをもとの長さの2倍にすると、周期はどうして√2倍になるのですか？

バネ振り子のバネの長さをもとの長さの2倍にすると、周期はどうして√2倍になるのですか？

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/22 11:27

「バネの長さを2倍にする」＝「同じバネを２個直列につなぐ」と考えてよいですか？

まさか「元のバネを２倍の長さに引き伸ばして使う」ということではありませんよね？　これだと同じバネだから周期は変わりませんから。

「同じバネを２個直列につなぐ」ということは、「同じ重さのおもりを吊り下げると、全体のバネの伸びは２倍になる」ということは分かりますか？
「作用・反作用」で、２つのばねそれぞれに「おもりの力」が等しく働くので、各々のバネが「１個でそのおもりを吊り下げたときの伸び」になるからです。
同じ力で伸びが２倍になるのだから、バネ定数は 1/2 になったことになります。

バネ振動の周期は、公式から
　T = 2パイ√(m/k)
（T：周期、m：おもりの質量、k：バネ定数)
ですから、k が 1/2 になれば T は √2 倍になります。

バネ振動の周期の求め方は教科書に載っていると思いますが、必要ならこんなサイトも参考に。
↓
https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/ban …

No.3 回答者： metabolian 回答日時： 2020/11/22 11:23

水平でも鉛直でも、

バネ振り子の周期T=2π√(m/k)。
※「バネの長さ」とは無関係。

「バネの長さが2倍」じゃなくて、
「バネ定数kのバネを2個繋いだ」のなら、
全体のバネ定数をk‘とすると、
両方のバネが（1個の時と）同じ長さだけ
伸びるから、mg=-k’x=-kx-kx=-2kx
∴k’=2k
そうすると、連結した後のバネ振り子の周期T‘=2π√(m/k’) =2π√(m/2k)
で、もとの「1/√2倍」になると思います。
「バネ振り子 バネ2つ」とかで検索してみましょう！

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/22 11:22

ばね2こを直列にするということ？

F=Kx この式のばね定数Kは　ばねの伸びにくさを表す定数です
同じばね定数ｋのばねを2個直列にして、その両端をFの力で引っ張ると
これらのバネはそれぞれ、その両端からFの力で引っ張られるので
それぞれの自然長からの伸びはx
２つの伸びは合計で2xとなります
ゆえに　直列ばねの合成ばね定数をK'とすれば合成ばねを表す式は
F=K'(2x)より
個々のばねを表すフックの法則の式は
F=Kx
2つの連立法廷し機から
Kx=K'(2x)
K'=(1/2)K=0.5k
つまり、２つのばねを直列につないだものを1つのばねとみなす場合
そのばね定数は元の1/2になり　ばね定数＝(1/2)Kということです

このとき、ばね振り子の周期は　
T=2π√(m/ばね定数)なので
ばね定数ｋ（直列つなぎする前のばね1個）でのばね振り子の周期は
T=2π√(m/k)
（直列つなぎする前のばね1個）ばね定数ｋでのばね振り子の周期は
T'=2π√(m/0.5k)
よって周期ははじめの√2倍となり
T'=2π√(m/0.5k)=2π√(m/k)・(1/√0.5))=2π√(m/k)・√2=√2T
となります

簡単に言うと　ばねを直列接続することによって
ばねが伸びやすくなるので、（復元力が小さくなるので）
振り子の1往復にかかる時間が伸びて
周期が増大するということなのです

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2020/11/22 11:15

周期を求める公式は 分かりますね。

長さが 2倍になれば、バネ定数は 1/√2 になりますね。
で、周期は 1/(1/√2)=√2 倍ですね。