ロピタルの定理で極限を求める問題です。 ロピタルの定理についてあまり理解できませんでした。 もしよろ

ロピタルの定理で極限を求める問題です。
ロピタルの定理についてあまり理解できませんでした。
もしよろしければ解説お願いします。
(1)limx→0 ｛e^(−x)−1+x｝/x^2
(2)limx→0 ｛1−cos(x/2)｝/x^2

No.1 回答者： akari31 回答日時： 2020/11/25 10:14

分子、分母を1回微分しても0/0ですので、再度同じように

微分すれば定数になります。

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/11/25 21:52

ロピタルの定理は、以下の条件が成立するとき、

(a) lim[x→c] f(x)=lim[x→c] g(x)=0または±∞
(b) f(x), g(x)がx=cで微分可能
(c) lim[x→c] f'(x)/g'(x)が収束する

lim[x→c] f(x)/g(x)=lim[x→c] f'(x)/g'(x)となる定理。

f'(x), g'(x)に対して、上記3つの条件が成立するのであれば、

lim[x→c] f'(x)/g'(x)=lim[x→c] f''(x)/g''(x)

も成立する。

(1), (2)とも2階微分で収束するので、

(1)はf(x)=e^(-x) - 1 + x, g(x)=x^2とすると、
lim[x→0] f(x)/g(x)=lim[x→0] f''(x)/g''(x)
=lim[x→0] e^(-x)/2
=1/2

(2)はf(x)=1-cos(x/2), g(x)=x^2とすると、
lim[x→0] f(x)/g(x)=lim[x→0] f''(x)/g''(x)
=lim[x→0] ((1/4)cos(x/2))/2
=1/8