高校数学Ⅰ・Aです。 2200の正の約数のうち、2の倍数の個数を求める際に、 解答に、｢2の倍数は素

高校数学Ⅰ・Aです。
2200の正の約数のうち、2の倍数の個数を求める際に、
解答に、｢2の倍数は素因数2を1個以上含むものであり、
その個数は２の２乗×５の２乗×11の正の約数の個数と等しいから、
(2＋1)(2＋1)(1＋1)=18個である｣
とあるのですが、どうして２の２乗×５の…というふうに考えられるのですか。
分かりづらくてごめんなさい、どなたか教えて欲しいです。よろしくお願いいたします。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/29 19:35

2200 の素因数分解が 2200 = (2^3)(5^2)(11^1) であことから、

2200 の正の約数は (2^i)(5^j)(11^k) ただし
i ∈ { 0, 1, 2, 3 },
j ∈ { 0, 1, 2 },
k ∈ { 0, 1 }　なのでした。

これを使って、 2200 の正の約数の個数は、
i の選び方 4 通り,
j の選び方 3 通り,
k の選び方 2 通り　の積で
4×3×2 = 24 通りあります。

2200 の正の約数のうち、2の倍数だけに限ると、
i ∈ { 1, 2, 3 } に限られるので
3×3×2 = 18 通りになります。

No.4 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/11/28 18:22

2200の正の約数のうち2の倍数は ２ｎ（ｎは自然数）と表されますので、その２の倍数の個数はｎにあてはまる自然数の個数に等しいです。

2200＝２³×５²×11＝２×(２²×５²×11)

これより、ｎにあてはまる自然数の個数は、(２²×５²×11)の正の約数の個数に等しいです。

したがって、2200の正の約数のうち2の倍数の個数は、(２²×５²×11)の約数の個数に等しいです。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/28 17:16

2200=2³x5²x11より

2200の約数は2³x5²x11の約数ということになります
(1+2+2²+2³)x(1+5+5²)x(1+11)を展開すると
1x1x1+1x1x11+1x5x1＋1x5x11＋・・・+2³x5²+11となり
2³x5²x11を割り切れる数 、つまり約数がすべて登場します
（2200の約数すべての足し算になります）
その中で２の倍数であるものは
2x(1+5+5²)x(1+11)を展開したものと
2²x(1+5+5²)x(1+11)を展開したものと
2³x(1+5+5²)x(1+11)を展開したものですが
(1+5+5²)x(1+11)
は分配法則により　3x2この数字の足し算なんで
（具体的には　
(1+5+5²)x(1+11)
＝(1x1)+(1x11)+(5x1)+(5x11)+(5²x1)+(5²x11)
＝1+11+5+55+25+275 というように6数字の足し算になりますよね)

このことから2x(1+5+5²)x(1+11)を展開したものは3x2この数字の足し算
2²x(1+5+5²)x(1+11)を展開したものも3x2この数字の足し算
2³x(1+5+5²)x(1+11)を展開したものも3x2この数字の足し算
合計で　3x3x2この数字が登場です
これら3x3x2この数字はすべて因数に２を含んでいて2でわりきれるので２の約数です
そしてその個数は全部で3x3x2個登場ということになります
すなわち、求めるべき正の約数のうち、2の倍数の個数は
3x3x2ということです

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/11/28 16:45

実際に2200を理解しやすい数で分解してみると良い。

2200=22×100
=(2×11)×(10×10)
=2×11×(5×2)×(5×2)
=2^3 × 5^2 × 11

となる。
2200は3種類の素数2, 5, 11の組み合わせであることが分かる。

悩むより、手を動かしたほうが答えが見えることもあるってことだね。

No.1 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2020/11/28 16:43

考え方は一緒なので、簡単な数字で説明します。

60の約数の数を求める場合。
まず、素因数分解。60=2^2×3^1×5^1
つまり、60の約数は2と3と5をかけた数字でしか作れず、
7など、他の素数をかけた数字では割り切れなくなってしまう。

とはいえ、2も3個入ってしまう（2^3=8）と、割り切れなくなってしまう。

ということは、60の約数は以下の条件を満たす必要がある。
・2は2個までOK
・3は1個までOK
・5は1個までOK

ただ、2個までOKということは0個なら？
2も3も5も0個なら、それをかけ合わせたものって1で、1はすべての数字の
約数ですよね。なのでOK。

そう考えると、60の約数は、2^a×3^b×5^cを満たす数字で、
それぞれ0≦a≦2、0≦b≦1、0≦c≦1ならばOKというわけです。

では、a、b、cは上記の不等式を満たす数字は何個？となると、
a=3、b=2、c=2ですよね。
そして求めようとする約数の個数というものは、
　2　　3　　5
0個　0個　0個
0個　0個　1個
0個　1個　1個
　（続く）
という組み合わせがどれだけあるか、ということを求めようと
しているのですからa、b、cかけあわせた3×2×2=12が
60の約数の個数というわけです。

これを1100（2を1個使っているので）だったらどうなるか
考えてみましょう。