重積分を教えてください

領域D=｛(x,y)|-π<=x<=π, -π<=y<=π}のとき、
Dの境界上の各点を通りz軸に平行な直線のつくる曲面をSとする。
z=sinxcos2y+5
Sおよび領域Dで囲まれる立体の体積をVとする。
一方、平面Z=h、Sおよび領域Dで囲まれる立体の体積をWとする。
(hは正の実数定数とする)

1)体積Vを求めよ
2)V=Wとしたとき、hを求めよ
3)2)で求めたhを利用してSを求めよ
4)3)で求めた方法とは別のやり方でSを求めよ

No.5 ベストアンサー 回答者： inbrylns 回答日時： 2020/12/09 15:19

【訂正版】です。

すべてz≧0で考えます。
1)∫∫(sinxcos2y+5)dxdyを-π≦x≦π,-π≦y≦πで計算して
V=20π^2
2)高さhの四角柱の体積をUと置く。
V=Wのとき、U=2Vであるから
U=40π^2
一方、四角柱の底面積は4π^2より
U=(4π^2)h
よって h=10
3) Sは四角柱の側面積の半分であるから
2S=4×2πh=80π よりS=40π
4)立体の縁は、z=sinxcos2+5 において
x=-π, x=π, y=-π, y=πと置いたものであるから、それぞれz=5,z=5, z=sinx+5,sinx+5
となる。よって
S=2∫ [-π,π]5dy+2∫ [-π,π](sinx+5)dx=40π

No.4 回答者： inbrylns 回答日時： 2020/12/09 12:37

4)z=sinxcos2y+5y⇒z=sinxcos2y+5でした。

No.3 回答者： inbrylns 回答日時： 2020/12/09 09:56

すべてz≧0で考えます。

1)∫∫(sinxcos2y+5)dxdyを-π≦x≦π,-π≦y≦πで計算して
V=20π^2
2)V=Wのとき、W=2Vであるから
W=40π^2
一方、四角柱の底面積は4π^2より
W=(4π^2)h
よって h=10
3) Sは四角柱の側面積の半分であるから
2S=4×2πh=80π よりS=40π
4)立体の縁は、z=sinxcos2+5yにおいて
x=-π, x=π, y=-π, y=πと置いたものであるから、それぞれz=5,z=5, z=sinx+5,sinx+5
となる。よって
S=2∫ [-π,π]5dy+2∫ [-π,π](sinx+5)dx=40π

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/08 19:48

＞ Dの境界上の各点を通りz軸に平行な直線のつくる曲面をSとする。

S は D を垂直断面とする高さ ∞ の四角柱面だとしか読めない。

次の行に唐突に z=sinxcos2y+5 が現れる理由が判らないし、
S および D で囲まれる立体は上記の無限柱の半分(どちらの半分かは不明だが)
であって、V = +∞.　問題が意味をなさない。

問題文を、もう少し推敲してはどうか。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/12/08 18:41

問題がご質問の通りで、

>z=sinxcos2y+5
とSおよび領域Dで囲まれる立体の体積がVだとすれば：

1)と2)は積分範囲が｛(x,y)|-π<=x<=π, -π<=y<=π}の定積分で、
V = ∫∫|sinxcos2y+5| dx dy
しかし　sinxcos2y+5 > 0 だから
V = ∫∫(sinxcos2y+5) dx dy
= ∫∫sinxcos2y dx dy + ∫∫5 dx dy
= (∫sinx dx)(∫cos2y dy) + ∫∫5 dx dy
W = ∫∫|h| dx dy
簡単。

3)と4)：「 Sを求めよ」も何も、Sは「Dの境界上の各点を通りz軸に平行な直線のつくる曲面」だから、要するに無限に長い四角柱の側面でしょがよ。hなんか使いようがないぞ。

というわけで、問題がご質問の通りだとはちょっと思えない。