No.3ベストアンサー
- 回答日時:
No.2です。
ANo.2の補足について
添付図は球と球面円錐体の立体図のz=0(xy座標平面)の断面図です。
球の方程式:x^2+y^2+z^2=r^2 (r>0)
z=0の断面の方程式(円の方程式):x^2+y^2=r^2 (r>0)
球面円錐体の体積Vは,円錐部分の体積V1と欠球部分(中華鍋の形状)の体積V2を合わせた立体の体積となります。
V=V1+V2
図の△OAC(黄色の領域)が円錐部分の断面で,円錐の底面の半径は√(r^2-a^2)、高さはaですから
円錐部分の体積V1は
V1=(1/3)*(底面積)*(高さ)=(1/3)π(√(r^2-a^2))^2*a=(1/3)a(r^2-a^2)
となります。
>円錐部分の1/3πr二乗a(二乗はPCで出ないので・・・)は承知していましたが
「aのb乗」は「a^b」と書く決まりなので覚えておいてください。
>中華鍋の形状の体積(容量)が知りたくて
中華鍋の形状の立体(欠球部分)の体積V2は積分によって求めます。
図の弓型図形ABCD(水色領域)は欠球部分のz=0の断面です。
底面の直径がADC=2√(r^2-a^2)で高さは(r-a)です。
>その簡単な式があれば・・・と思ったのですが。
>(微分はちょっとニガテです。)
簡単な式は、微分ではなく積分で求めます。x軸に垂直な平面で切断した円板(厚さdx)を
x=aからx=rまで足し合わせたものが積分であり、欠球部分(中華鍋の形状)の体積(容積)V2となります。
V2=(円板の面積π(y^2)*(厚さdx)をx=aからx=rまで加える
=∫[x=a~r] π(√(r^2-x^2))^2)*dx
=∫[x=a~r] π(r^2-x^2) dx
=π[xr^2-(1/3)x^3][x=a~r]
=π[r^3-(1/3)r^3-ar^2+(1/3)a^3]
=(1/3)π[2r^3 -3ar^2+a^3]
因数分解して
V2=(1/3)π(2r+a)(r-a)^2
これが質問者さんの言う中華鍋の容積に当たる体積です。
綺麗な式なので公式として覚えるか、積分ですぐ導出できるようにしておくかですね。
球面円錐体の体積V
V=V1+V2=(1/3)a(r^2-a^2)+(1/3)π(2r+a)(r-a)^2
=(2/3)π(r-a)r^2
と求まる訳です。
ANo.2は以上の計算を要領よくまとめた回答です。
No.2
- 回答日時:
r=球の半径,a=球の中心からの距離(0<a<r)
V=(2/3)π(r-a)r^2
球面円錐体の体積の計算式
V=(円錐部分)+(欠球部分)
=(1/3)πa(r^2-a^2)+∫[a,r]π(r^2-x^2)dx
=(1/3)πa(r^2-a^2)+(1/3)π(2r+a)(r-a)^2
=(2/3)π(r-a)r^2
この回答への補足
ありがとうございます。
円錐部分の1/3πr二乗a(二乗はPCで出ないので・・・)は承知していましたが、中華鍋の形状の体積(容量)が知りたくて、その簡単な式があれば・・・と思ったのですが。
(微分はちょっとニガテです。)
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