計算式を教えて下さい。

球面円錐体の体積の計算式を教えて下さい。

検索しても本しか出てきませんでした。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2014/03/07 23:17

No.2です。

ANo.2の補足について

添付図は球と球面円錐体の立体図のz=0（xy座標平面）の断面図です。
球の方程式：x^2+y^2+z^2=r^2 (r>0)
z=0の断面の方程式(円の方程式)：x^2+y^2=r^2 (r>0)
球面円錐体の体積Vは,円錐部分の体積V1と欠球部分（中華鍋の形状）の体積V2を合わせた立体の体積となります。
　V=V1+V2
図の△OAC(黄色の領域)が円錐部分の断面で,円錐の底面の半径は√(r^2-a^2)、高さはaですから
円錐部分の体積V1は
　V1＝(1/3)*(底面積)*(高さ)=(1/3)π(√(r^2-a^2))^2*a=(1/3)a(r^2-a^2)
となります。

>円錐部分の1/3πr二乗a（二乗はPCで出ないので・・・）は承知していましたが
「aのb乗」は「a^b」と書く決まりなので覚えておいてください。

>中華鍋の形状の体積（容量）が知りたくて
中華鍋の形状の立体（欠球部分）の体積V2は積分によって求めます。
図の弓型図形ABCD（水色領域）は欠球部分のz=0の断面です。
底面の直径がADC=2√(r^2-a^2)で高さは(r-a)です。

>その簡単な式があれば・・・と思ったのですが。
>（微分はちょっとニガテです。）
簡単な式は、微分ではなく積分で求めます。x軸に垂直な平面で切断した円板（厚さdx）を
x=aからx=rまで足し合わせたものが積分であり、欠球部分（中華鍋の形状）の体積（容積）V2となります。
　V2=(円板の面積π(y^2)*(厚さdx)をx=aからx=rまで加える
　　=∫[x=a～r] π(√(r^2-x^2))^2)*dx
　　=∫[x=a～r] π(r^2-x^2) dx
　　=π[xr^2-(1/3)x^3][x=a～r]
　　=π[r^3-(1/3)r^3-ar^2+(1/3)a^3]
　　=(1/3)π[2r^3 -3ar^2+a^3]
因数分解して
　V2=(1/3)π(2r+a)(r-a)^2
これが質問者さんの言う中華鍋の容積に当たる体積です。
綺麗な式なので公式として覚えるか、積分ですぐ導出できるようにしておくかですね。

球面円錐体の体積V
V=V1+V2=(1/3)a(r^2-a^2)+(1/3)π(2r+a)(r-a)^2
　=(2/3)π(r-a)r^2
と求まる訳です。

ANo.2は以上の計算を要領よくまとめた回答です。

この回答へのお礼

V2=(1/3)π(2r+a)(r-a)^2
で、解ります。
ありがとうございました。

お礼日時：2014/03/08 23:31

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2014/03/07 11:42

r=球の半径,a=球の中心からの距離(0<a<r)

　V=(2/3)π(r-a)r^2

球面円錐体の体積の計算式
　V=(円錐部分)+(欠球部分)
　 =(1/3)πa(r^2-a^2)+∫[a,r]π(r^2-x^2)dx
　 =(1/3)πa(r^2-a^2)+(1/3)π(2r+a)(r-a)^2
　 =(2/3)π(r-a)r^2

この回答への補足

ありがとうございます。

円錐部分の1/3πr二乗a（二乗はPCで出ないので・・・）は承知していましたが、中華鍋の形状の体積（容量）が知りたくて、その簡単な式があれば・・・と思ったのですが。
（微分はちょっとニガテです。）

補足日時：2014/03/07 20:22

No.1 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/06 23:37

計算式を考える前に、「球面円錐体」ってなんなの？

どこで出て来た用語なの？

どこの問題？