24の倍数

「ｎ＋１が24で割り切れるとき（ｎ：自然数）ｎの約数の総和は２４で割り切れることを示せ。」
有名問題らしいのですが、納得いく解が見つかりません。助けてください。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/01/15 16:15

長くなるかも。

先ず、基本の押さえ1
nの約数をaとすると、nはaで割り切れ割った商をbとすれば、a×b=n
nの約数が複数個あってとしても、nで割った商と掛け算すると、答はnになる。
12の約数は2,3,4,6だから、2×6=12、3×4=12

基本の押さえ2
任意の自然数は24を法とすると、24×n+mと書ける。
2=24×0+2、25=24×1+1と書ける。

以下本題

nが素数の場合
n=24k-1と書ける。
約数は1と自分自身だから、約数の合計=1+24k-1=24k。これは24の倍数


nが素数では無い場合
nの約数を2個ずつセットにすると積は2[基本の押さえ1]

それらを書き出すと[基本の押さえ2を使う]
(24a₁₁+b₁₁)×(24a₁₂+b₁₂)のセットでは、展開すると、n=24a₁₁24a₁₂＋24a₁₁b₁₂+24a₁₂24a₁₁+24a₁₂b₁₁+b₁₁b₁₂

nは24で割ると23余るからb₁₁b₁₂＝23、23は素数だから、b₁₁、b₁₂は1と23。

(24a₁₁+b₁₁)、(24a₁₂+b₁₂)の約数合計は24a₁₁+24a₁₂+b₁₁+b₁₂
b₁₁、b₁₂は1と23だったから、b₁₁+b₁₂=24

∴約数合計は(24a₁₁+b₁₁)、(24a₁₂+b₁₂)=24a₁₁+24a₁₂+24
これは24でくくれるから24の倍数

(24a₂₁+b₂₁)×(24a₂₂+b₂₂)のセットでも同じ事が成立つから、この約数の合計も24の倍数

全てのセットが24の倍数だから、総合計は24倍数。


約数には、1と自分自身が含まれる。自分自身は24k-1と書けるので、約数1を足すと24kとなり24の倍数。
それも足した、約数の総合計は24の倍数。

この回答へのお礼

素晴らしい解答です。ｎが素数と素数でないときに分ける
ところまでは出来たのですが、素数でないときにｎ＝a・b
と素因数分解したときの約数の和の扱いをどうするかで行き
詰ってしまいました。本当にありがとうございました。

お礼日時：2021/01/15 17:31