虚数計算（並列回路の抵抗値）の図示化について

回路といっても虚数計算の悩みですのでこちらに質問いたします。工学カテゴリでは残念ながらご回答いただけませんでした･･･

「虚数による計算式（並列回路の抵抗値の計算式）が２つの円の交点で図示できる」という興味深いテクニックが「実践 ベクトル図活用テクニック」という書籍に掲載されており、導出過程が割愛されている為、現在自力で導出を行っていますが、難しく答えに辿り着けない状況です･･･。
（原本や質問の詳細は以下に図示します）

つきまして、虚数計算の得意な方に導出方法のご助言をいただきたく（理論の正誤、参照先のURLだけでも構いません）宜しくお願いいたします。もしこの理論が正しいなら、直並列回路を１つのベクトル図にまとめることができ、助かる人は多いと思います。

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2021/01/17 14:42

Ｏを原点として接弦定理により

△ＯＣＢと△ＡＣＯ　は同じ向きに相似だから
三角形の複素数表示による性質から
Ｃ/Ｂ＝(Ｃ－Ａ)/(－Ａ)が出る。
これを解くとＣ＝ＡＢ/(Ａ＋Ｂ)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

なるほど
①接弦定理で相似する図形を探し･･･
②arg公式でベクトル表現に直すと、関係式になる。
という感じでしょうか。

改めて複素数計算の素晴らしさや、図形との相性の良さを感じました。ありがとうございました。

お礼日時：2021/01/17 17:33

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2021/01/24 16:51

少なくとも今の問題の場合

ベクトルがなす2つの三角形が相似であり
2つの三角形の相似条件が2辺の比とその間の角で
表現されるところから
ベクトルの絶対値、偏角表現がぴったりくるのだと思います。

この回答へのお礼

為になるご回答、ありがとうございました。

①図形の相似の発見
②①から、図形の辺の比と角度の共通性が分かれば、複素数の割り算を使って関係式を作ることができ、所望の答えが分かる

おかげで年末年始からずっと悩み、調べても調べても分からなかったことの１つがやっと解決できました。

ありがとうございました。

お礼日時：2021/01/25 07:25

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2021/01/23 23:05

う～んどう考えてもベクトルの絶対値、偏角表示のほうが

考えよいですねぇ。
図で△OACと△OBCが相似であるところから
ベクトルAとベクトルCの間の角を＝θとした時
ベクトルBOとベクトルBCのなす角もθになる。
つまりOCの向きの単位ベクトルはOAの向きの単位ベクトル
より位相がθ進んでいるから
Cベクトル/OCの長さ＝(Aベクトル/OAの長さ)×(cosθ＋ｊsinθ)
これからC/A＝（OCの長さ/OAの長さ)×(cosθ＋ｊsinθ)･･･①

またBCの向きの単位ベクトルもBOの向きの単位ベクトル
より位相がθ進むから
(C－B)/(BCの長さ)＝-B/(OBの長さ)×(cosθ＋ｊsinθ)
これから
(C－B)/(-B)＝(BCの長さ/OBの長さ)×(cosθ＋ｊsinθ)･･･②

ところが相似比の関係から
（OCの長さ/OAの長さ)＝(BCの長さ/OBの長さ)だから
①②より
C/A＝(C－B)/(-B)がなりたち、これからも
C=AB/(A+B)が出ます。

この回答へのお礼

補足いただきありがとうございます。

複素数計算は、やはり絶対値と偏角に置換した方が分かり易い（乗除が、絶対値の乗除と偏角加減で表せるので分かり易い為）･･･というところでしょうか。

この様な複素数計算が便利で融通が利き直感的に分かり易いところは素晴らしいと思いますが、複素数計算故なのか意外にマイナーな理論になっている気がして非常に勿体ない様にも思いました。

ありがとうございました。

お礼日時：2021/01/24 11:27

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2021/01/17 22:03

No.3での説明には以下のサイトの有名な定理

を使っています。
そこで
ｚ1＝0、ｚ2＝Ｃ、ｚ3＝Ｂ
ｗ1＝Ａ、ｗ2＝Ｃ、ｗ3＝0
とおいて、この定理を適用しています。

私もこの定理がインピーダンスの図示に役立っているとは
おどろきました（笑）

https://kobuttonfgh.com/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD …

この回答へのお礼

補足いただきありがとうございます。

定理があったのですね。
今更ですが複素数の割り算の有用性を思い知った感じです。

ありがとうございました。

お礼日時：2021/01/18 06:04

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/16 15:46

複素数z をガウス平面の直交座標(x,y)で

　　z = x + iy
とて扱いたい、ということですかね。しかし極座標表現(r,θ)
　　x = r cosθ, y = r sinθ
もなかなか便利で捨てがたい。Aの実部をAx, 虚部をAyと書くことにし、
　　Ax = a cosα, Ay = a sinα
　　Bx = b cosβ, By = b sinβ
と表すことにしましょうか。

[1]まずは C = AB/(A+B) を成分で表示してみます。
　　C = (Ax+iAy)(Bx+iBy) / ((Ax+Bx) + i(Ay+By))
分子分母に ((Ax+Bx) - i(Ay+By))を掛け算して
　　C = ((AxBx-AyBy)+i(AyBx+AxBy))((Ax+Bx) - i(Ay+By)) / ((Ax+Bx)^2 + (Ay+By)^2)
　さて分子について
　　AxBx-AyBy = ab(cosα cosβ - sinα sinβ) = ab cos(α+β)
　　AyBx+AxBy = ab(sinα cosβ + cosα sinβ) = ab sin(α+β)
なので、分子の実部は
　　ab( (Ax+Bx)cos(α+β) + (Ay+By)sin(α+β))
　　= ab(a cosβ + b cosα)
また分子の虚部は
　　 ab((Ax+Bx)sin(α+β) - (Ay+By)cos(α+β))
　　= ab(a sinβ + b sinα)
です。一方、分母は
　　(Ax+Bx)^2 + (Ay+By)^2
　　= Ax^2 + Ay^2 + Bx^2 + By^2 + 2(AxBx + AyBy)
　　= a^2 + b^2 + 2ab cos(α-β)
ですから結局
　　分母 = (a/b + b/a + 2 cos(α-β))
　　Cの実部 = ((a cosβ + b cosα) /分母
　　Cの虚部 = (a sinβ + b sinα)) / 分母
である。

[2]今度は図形の話です。まずは準備。
　ある点TとSを
　　Tx = t cosτ, Ty = t sinτ
　　Sx = s cosσ, Sy = s sinσ
とします。「原点Oと点S (S≠O)を通り、中心M=(Mx, My)がM⊥T であるような円」は、その半径をRとすると、
　　Mx = -Rsinτ, My = Rcosτ
であり、従ってこの円の方程式は
　　(x+Rsinτ)^2 + (y-Rcosτ)^2 = R^2
となる。展開して
　　x^2 + (2Rsinτ)x + y^2 - (2Rcosτ)y = 0
です。これが点Sを通るのだから、
　　Sx^2 + (2Rsinτ)Sx + Sy^2 - (2Rcosτ)Sy = 0
　　s^2 + 2Rs (sinτ cosσ - cosτ sinσ) = 0
より
　　R = -s/(2sin(τ-σ))
と決まり、だから円の方程式は結局
　　x^2 - ((s sinτ)/sin(τ-σ))x + y^2 + (s (cosτ)/sin(τ-σ))y = 0
です。
　さて本題。「原点Oと点Aを通り、中心MがM⊥B であるような円」と「原点Oと点Bを通り、中心M’がM’⊥A であるような円」との交点は
　　x^2 + ((a sinβ)/sin(α-β))x + y^2 - ((a cosβ)/sin(α-β))y = 0 …(1)
　　x^2 - ((b sinα)/sin(α-β))x + y^2 + ((b cosα)/sin(α-β))y = 0 …(2)
の（(0,0)以外の）解です。両者の差を取ってsin(α-β)倍すると
　　(a sinβ + b sinα)x - (a cosβ + b cosα)y = 0
だからある定数λによって
　　x = λ(a cosβ + b cosα) …(3) （実部）
　　y = λ(a sinβ + b sinα) …(4)（虚部）
と表せることがわかります。これを使って、原点から交点までの距離Lは
　　L^2 = x^2 + y^2
　　= (λ^2) ((a cosβ + b cosα)^2 + (a sinβ + b sinα)^2)
　　= (λ^2) (a^2 + b^2 + 2ab(cosβ cosα + sinα sinβ))
　　= (λ^2)(a^2 + b^2 + 2ab(cos(α-β))…(5)
と表せます。
　一方(1)(2)の和を作ると
　　2(x^2 + y^2) + ((a sinβ - b sinα)x - (a cosβ - b cosα)y)/sin(α-β) = 0
ここで(3)(4)を代入すると
　　2(x^2 + y^2) +2abλ(sinβ cosα - sinα cosβ) /sin(α-β) = 0
ここで
　　sinβ cosα - sinα cosβ = sin(β-α)
だから
　　2(x^2 + y^2) - 2abλ = 0
すなわち(5)より
　　λ(a^2 + b^2 + 2ab(cos(α-β)) - ab = 0
なので
　　λ = 1/(a/b + b/a + 2(cos(α-β))

[3] というわけで、めでたく[1]と[2]が一致。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

＞Mx = -Rsinτ, My = Rcosτ

この辺がら理解できなくなりましたが、極座標計算でのアプローチ、式側と図側からのアプローチについて、今後参考にさせていただきます。

ありがとうございました。

お礼日時：2021/01/17 10:39

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2021/01/16 14:47

混乱を避けるため、複素平面上の点をA,B,Cとし、それぞれの点が示す複素数をa,b,cとする。

0の示す点をOとする。


c=ab/(a+b)
を変形して次の2式を得る。
a/(a-c)=b/c ①
b/(b-c)=a/c ②

①式の両辺の偏角は等しい。
arg{a/(a-c)}=arg(b/c)
arg(a)-arg(a-c)=arg(b)-arg(c) ①'
①'の両辺の複素平面上で示す角を考える。
①'左辺：直線OAとCAのなす角
①'右辺：直線OBとOCのなす角
これらが等しいことから接弦定理の逆より点Cは点OでOBに接し点Aを通る円上の点である。

②から同様に点Cは点OでOAに接し点Bを通る円上の点であることが言える。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

argの公式と、接弦定理を使えばこんなにシンプルに解けるとは･･･驚きと感動です。長々とベクトル計算をして式がぐちゃぐちゃになり途方に暮れていた気持ちが晴れました。

また、この情報がベクトル図で回路設計をする人たちに上手く伝われば、ベクトル図の理解や、もしかするとスミスチャートの理解や意義まで少し変化して、助かる人は非常に多いと思います。

改めて、ありがとうございました。

お礼日時：2021/01/17 08:29